Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  163prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 163prm 16038
 Description: 163 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
163prm 163 ∈ ℙ

Proof of Theorem 163prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 11509 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 6nn0 11514 . . . 4 6 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11713 . . 3 16 ∈ ℕ0
4 3nn 11387 . . 3 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11719 . 2 163 ∈ ℕ
6 8nn0 11516 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11512 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 3nn0 11511 . . 3 3 ∈ ℕ0
9 1lt8 11422 . . 3 1 < 8
10 6lt10 11876 . . 3 6 < 10
11 3lt10 11879 . . 3 3 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 11739 . 2 163 < 841
13 6nn 11390 . . . 4 6 ∈ ℕ
141, 13decnncl 11719 . . 3 16 ∈ ℕ
15 1lt10 11881 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 11747 . 2 1 < 163
17 2cn 11292 . . . 4 2 ∈ ℂ
1817mulid2i 10244 . . 3 (1 · 2) = 2
19 df-3 11281 . . 3 3 = (2 + 1)
203, 1, 18, 19dec2dvds 15973 . 2 ¬ 2 ∥ 163
21 5nn0 11513 . . . 4 5 ∈ ℕ0
2221, 7deccl 11713 . . 3 54 ∈ ℕ0
23 1nn 11232 . . 3 1 ∈ ℕ
24 0nn0 11508 . . . 4 0 ∈ ℕ0
25 eqid 2770 . . . 4 54 = 54
261dec0h 11723 . . . 4 1 = 01
27 ax-1cn 10195 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2827addid2i 10425 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2928oveq2i 6803 . . . . 5 ((3 · 5) + (0 + 1)) = ((3 · 5) + 1)
30 5p1e6 11356 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
31 5cn 11301 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
32 3cn 11296 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
33 5t3e15 11835 . . . . . . 7 (5 · 3) = 15
3431, 32, 33mulcomli 10248 . . . . . 6 (3 · 5) = 15
351, 21, 30, 34decsuc 11736 . . . . 5 ((3 · 5) + 1) = 16
3629, 35eqtri 2792 . . . 4 ((3 · 5) + (0 + 1)) = 16
37 2nn0 11510 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
38 2p1e3 11352 . . . . 5 (2 + 1) = 3
39 4cn 11299 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
40 4t3e12 11832 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
4139, 32, 40mulcomli 10248 . . . . 5 (3 · 4) = 12
421, 37, 38, 41decsuc 11736 . . . 4 ((3 · 4) + 1) = 13
4321, 7, 24, 1, 25, 26, 8, 8, 1, 36, 42decma2c 11768 . . 3 ((3 · 54) + 1) = 163
44 1lt3 11397 . . 3 1 < 3
454, 22, 23, 43, 44ndvdsi 15343 . 2 ¬ 3 ∥ 163
46 3lt5 11402 . . 3 3 < 5
473, 4, 46dec5dvds 15974 . 2 ¬ 5 ∥ 163
48 7nn 11391 . . 3 7 ∈ ℕ
4937, 8deccl 11713 . . 3 23 ∈ ℕ0
50 2nn 11386 . . 3 2 ∈ ℕ
51 eqid 2770 . . . 4 23 = 23
5237dec0h 11723 . . . 4 2 = 02
53 7nn0 11515 . . . 4 7 ∈ ℕ0
5417addid2i 10425 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
5554oveq2i 6803 . . . . 5 ((7 · 2) + (0 + 2)) = ((7 · 2) + 2)
56 7t2e14 11848 . . . . . 6 (7 · 2) = 14
57 4p2e6 11363 . . . . . 6 (4 + 2) = 6
581, 7, 37, 56, 57decaddi 11779 . . . . 5 ((7 · 2) + 2) = 16
5955, 58eqtri 2792 . . . 4 ((7 · 2) + (0 + 2)) = 16
60 7t3e21 11849 . . . . 5 (7 · 3) = 21
61 1p2e3 11353 . . . . 5 (1 + 2) = 3
6237, 1, 37, 60, 61decaddi 11779 . . . 4 ((7 · 3) + 2) = 23
6337, 8, 24, 37, 51, 52, 53, 8, 37, 59, 62decma2c 11768 . . 3 ((7 · 23) + 2) = 163
64 2lt7 11414 . . 3 2 < 7
6548, 49, 50, 63, 64ndvdsi 15343 . 2 ¬ 7 ∥ 163
661, 23decnncl 11719 . . 3 11 ∈ ℕ
671, 7deccl 11713 . . 3 14 ∈ ℕ0
68 9nn 11393 . . 3 9 ∈ ℕ
69 9nn0 11517 . . . 4 9 ∈ ℕ0
70 eqid 2770 . . . 4 14 = 14
7169dec0h 11723 . . . 4 9 = 09
721, 1deccl 11713 . . . 4 11 ∈ ℕ0
7331addid2i 10425 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
7473oveq2i 6803 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 5)) = ((11 · 1) + 5)
7566nncni 11231 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
7675mulid1i 10243 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
7731, 27, 30addcomli 10429 . . . . . 6 (1 + 5) = 6
781, 1, 21, 76, 77decaddi 11779 . . . . 5 ((11 · 1) + 5) = 16
7974, 78eqtri 2792 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 5)) = 16
80 eqid 2770 . . . . 5 11 = 11
8139mulid2i 10244 . . . . . . 7 (1 · 4) = 4
8281, 28oveq12i 6804 . . . . . 6 ((1 · 4) + (0 + 1)) = (4 + 1)
83 4p1e5 11355 . . . . . 6 (4 + 1) = 5
8482, 83eqtri 2792 . . . . 5 ((1 · 4) + (0 + 1)) = 5
8581oveq1i 6802 . . . . . 6 ((1 · 4) + 9) = (4 + 9)
86 9cn 11309 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
87 9p4e13 11822 . . . . . . 7 (9 + 4) = 13
8886, 39, 87addcomli 10429 . . . . . 6 (4 + 9) = 13
8985, 88eqtri 2792 . . . . 5 ((1 · 4) + 9) = 13
901, 1, 24, 69, 80, 71, 7, 8, 1, 84, 89decmac 11766 . . . 4 ((11 · 4) + 9) = 53
911, 7, 24, 69, 70, 71, 72, 8, 21, 79, 90decma2c 11768 . . 3 ((11 · 14) + 9) = 163
92 9lt10 11873 . . . 4 9 < 10
9323, 1, 69, 92declti 11747 . . 3 9 < 11
9466, 67, 68, 91, 93ndvdsi 15343 . 2 ¬ 11 ∥ 163
951, 4decnncl 11719 . . 3 13 ∈ ℕ
961, 37deccl 11713 . . 3 12 ∈ ℕ0
97 eqid 2770 . . . 4 12 = 12
9853dec0h 11723 . . . 4 7 = 07
991, 8deccl 11713 . . . 4 13 ∈ ℕ0
100 eqid 2770 . . . . 5 13 = 13
10132addid2i 10425 . . . . . 6 (0 + 3) = 3
1028dec0h 11723 . . . . . 6 3 = 03
103101, 102eqtri 2792 . . . . 5 (0 + 3) = 03
10427mulid1i 10243 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
105 00id 10412 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
106104, 105oveq12i 6804 . . . . . 6 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
10727addid1i 10424 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
108106, 107eqtri 2792 . . . . 5 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10932mulid1i 10243 . . . . . . . 8 (3 · 1) = 3
110109oveq1i 6802 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 3) = (3 + 3)
111 3p3e6 11362 . . . . . . 7 (3 + 3) = 6
112110, 111eqtri 2792 . . . . . 6 ((3 · 1) + 3) = 6
1132dec0h 11723 . . . . . 6 6 = 06
114112, 113eqtri 2792 . . . . 5 ((3 · 1) + 3) = 06
1151, 8, 24, 8, 100, 103, 1, 2, 24, 108, 114decmac 11766 . . . 4 ((13 · 1) + (0 + 3)) = 16
11618, 28oveq12i 6804 . . . . . 6 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
117116, 38eqtri 2792 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
118 3t2e6 11380 . . . . . . 7 (3 · 2) = 6
119118oveq1i 6802 . . . . . 6 ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
120 7cn 11305 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
121 6cn 11303 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
122 7p6e13 11808 . . . . . . 7 (7 + 6) = 13
123120, 121, 122addcomli 10429 . . . . . 6 (6 + 7) = 13
124119, 123eqtri 2792 . . . . 5 ((3 · 2) + 7) = 13
1251, 8, 24, 53, 100, 98, 37, 8, 1, 117, 124decmac 11766 . . . 4 ((13 · 2) + 7) = 33
1261, 37, 24, 53, 97, 98, 99, 8, 8, 115, 125decma2c 11768 . . 3 ((13 · 12) + 7) = 163
127 7lt10 11875 . . . 4 7 < 10
12823, 8, 53, 127declti 11747 . . 3 7 < 13
12995, 96, 48, 126, 128ndvdsi 15343 . 2 ¬ 13 ∥ 163
1301, 48decnncl 11719 . . 3 17 ∈ ℕ
131 10nn 11715 . . 3 10 ∈ ℕ
132 eqid 2770 . . . 4 17 = 17
133 eqid 2770 . . . 4 10 = 10
13486mulid2i 10244 . . . . . 6 (1 · 9) = 9
135 6p1e7 11357 . . . . . . 7 (6 + 1) = 7
136121, 27, 135addcomli 10429 . . . . . 6 (1 + 6) = 7
137134, 136oveq12i 6804 . . . . 5 ((1 · 9) + (1 + 6)) = (9 + 7)
138 9p7e16 11825 . . . . 5 (9 + 7) = 16
139137, 138eqtri 2792 . . . 4 ((1 · 9) + (1 + 6)) = 16
140 9t7e63 11868 . . . . . . 7 (9 · 7) = 63
14186, 120, 140mulcomli 10248 . . . . . 6 (7 · 9) = 63
142141oveq1i 6802 . . . . 5 ((7 · 9) + 0) = (63 + 0)
1432, 8deccl 11713 . . . . . . 7 63 ∈ ℕ0
144143nn0cni 11505 . . . . . 6 63 ∈ ℂ
145144addid1i 10424 . . . . 5 (63 + 0) = 63
146142, 145eqtri 2792 . . . 4 ((7 · 9) + 0) = 63
1471, 53, 1, 24, 132, 133, 69, 8, 2, 139, 146decmac 11766 . . 3 ((17 · 9) + 10) = 163
148 7pos 11321 . . . 4 0 < 7
1491, 24, 48, 148declt 11731 . . 3 10 < 17
150130, 69, 131, 147, 149ndvdsi 15343 . 2 ¬ 17 ∥ 163
1511, 68decnncl 11719 . . 3 19 ∈ ℕ
152 eqid 2770 . . . 4 19 = 19
153 8cn 11307 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
154153mulid2i 10244 . . . . . 6 (1 · 8) = 8
155 7p1e8 11358 . . . . . . 7 (7 + 1) = 8
156120, 27, 155addcomli 10429 . . . . . 6 (1 + 7) = 8
157154, 156oveq12i 6804 . . . . 5 ((1 · 8) + (1 + 7)) = (8 + 8)
158 8p8e16 11818 . . . . 5 (8 + 8) = 16
159157, 158eqtri 2792 . . . 4 ((1 · 8) + (1 + 7)) = 16
160 9t8e72 11869 . . . . 5 (9 · 8) = 72
16153, 37, 38, 160decsuc 11736 . . . 4 ((9 · 8) + 1) = 73
1621, 69, 1, 1, 152, 80, 6, 8, 53, 159, 161decmac 11766 . . 3 ((19 · 8) + 11) = 163
163 1lt9 11430 . . . 4 1 < 9
1641, 1, 68, 163declt 11731 . . 3 11 < 19
165151, 6, 66, 162, 164ndvdsi 15343 . 2 ¬ 19 ∥ 163
16637, 4decnncl 11719 . . 3 23 ∈ ℕ
167120, 17, 56mulcomli 10248 . . . . 5 (2 · 7) = 14
1681, 7, 37, 167, 57decaddi 11779 . . . 4 ((2 · 7) + 2) = 16
169120, 32, 60mulcomli 10248 . . . . 5 (3 · 7) = 21
17037, 1, 37, 169, 61decaddi 11779 . . . 4 ((3 · 7) + 2) = 23
17137, 8, 37, 51, 53, 8, 37, 168, 170decrmac 11777 . . 3 ((23 · 7) + 2) = 163
172 2lt10 11880 . . . 4 2 < 10
17350, 8, 37, 172declti 11747 . . 3 2 < 23
174166, 53, 50, 171, 173ndvdsi 15343 . 2 ¬ 23 ∥ 163
1755, 12, 16, 20, 45, 47, 65, 94, 129, 150, 165, 174prmlem2 16033 1 163 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 2144  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  2c2 11271  3c3 11272  4c4 11273  5c5 11274  6c6 11275  7c7 11276  8c8 11277  9c9 11278  ;cdc 11694  ℙcprime 15591 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-prm 15592 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator