MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  139prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 139prm 16033
Description: 139 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
139prm 139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 11500 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 3nn0 11502 . . . 4 3 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11704 . . 3 13 ∈ ℕ0
4 9nn 11384 . . 3 9 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11710 . 2 139 ∈ ℕ
6 8nn0 11507 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11503 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 9nn0 11508 . . 3 9 ∈ ℕ0
9 1lt8 11413 . . 3 1 < 8
10 3lt10 11871 . . 3 3 < 10
11 9lt10 11865 . . 3 9 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 11730 . 2 139 < 841
13 3nn 11378 . . . 4 3 ∈ ℕ
141, 13decnncl 11710 . . 3 13 ∈ ℕ
15 1lt10 11873 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 11738 . 2 1 < 139
17 4t2e8 11373 . . 3 (4 · 2) = 8
18 df-9 11278 . . 3 9 = (8 + 1)
193, 7, 17, 18dec2dvds 15969 . 2 ¬ 2 ∥ 139
20 6nn0 11505 . . . 4 6 ∈ ℕ0
217, 20deccl 11704 . . 3 46 ∈ ℕ0
22 1nn 11223 . . 3 1 ∈ ℕ
23 0nn0 11499 . . . 4 0 ∈ ℕ0
24 eqid 2760 . . . 4 46 = 46
251dec0h 11714 . . . 4 1 = 01
26 ax-1cn 10186 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2726addid2i 10416 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2827oveq2i 6824 . . . . 5 ((3 · 4) + (0 + 1)) = ((3 · 4) + 1)
29 2nn0 11501 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
30 2p1e3 11343 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
317nn0cni 11496 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
32 3cn 11287 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
33 4t3e12 11824 . . . . . . 7 (4 · 3) = 12
3431, 32, 33mulcomli 10239 . . . . . 6 (3 · 4) = 12
351, 29, 30, 34decsuc 11727 . . . . 5 ((3 · 4) + 1) = 13
3628, 35eqtri 2782 . . . 4 ((3 · 4) + (0 + 1)) = 13
37 8p1e9 11350 . . . . 5 (8 + 1) = 9
3820nn0cni 11496 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
39 6t3e18 11834 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
4038, 32, 39mulcomli 10239 . . . . 5 (3 · 6) = 18
411, 6, 37, 40decsuc 11727 . . . 4 ((3 · 6) + 1) = 19
427, 20, 23, 1, 24, 25, 2, 8, 1, 36, 41decma2c 11760 . . 3 ((3 · 46) + 1) = 139
43 1lt3 11388 . . 3 1 < 3
4413, 21, 22, 42, 43ndvdsi 15338 . 2 ¬ 3 ∥ 139
45 4nn 11379 . . 3 4 ∈ ℕ
46 4lt5 11392 . . 3 4 < 5
47 5p4e9 11359 . . 3 (5 + 4) = 9
483, 45, 46, 47dec5dvds2 15971 . 2 ¬ 5 ∥ 139
49 7nn 11382 . . 3 7 ∈ ℕ
501, 8deccl 11704 . . 3 19 ∈ ℕ0
51 6nn 11381 . . 3 6 ∈ ℕ
52 eqid 2760 . . . 4 19 = 19
5320dec0h 11714 . . . 4 6 = 06
54 7nn0 11506 . . . 4 7 ∈ ℕ0
55 7cn 11296 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
5655mulid1i 10234 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
5738addid2i 10416 . . . . . 6 (0 + 6) = 6
5856, 57oveq12i 6825 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
59 7p6e13 11800 . . . . 5 (7 + 6) = 13
6058, 59eqtri 2782 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 6)) = 13
61 9cn 11300 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
62 9t7e63 11860 . . . . . 6 (9 · 7) = 63
6361, 55, 62mulcomli 10239 . . . . 5 (7 · 9) = 63
64 6p3e9 11362 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
6538, 32, 64addcomli 10420 . . . . 5 (3 + 6) = 9
6620, 2, 20, 63, 65decaddi 11771 . . . 4 ((7 · 9) + 6) = 69
671, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 60, 66decma2c 11760 . . 3 ((7 · 19) + 6) = 139
68 6lt7 11401 . . 3 6 < 7
6949, 50, 51, 67, 68ndvdsi 15338 . 2 ¬ 7 ∥ 139
701, 22decnncl 11710 . . 3 11 ∈ ℕ
711, 29deccl 11704 . . 3 12 ∈ ℕ0
72 eqid 2760 . . . 4 12 = 12
7354dec0h 11714 . . . 4 7 = 07
741, 1deccl 11704 . . . 4 11 ∈ ℕ0
75 2cn 11283 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7675addid2i 10416 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
7776oveq2i 6824 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 2)) = ((11 · 1) + 2)
7870nncni 11222 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
7978mulid1i 10234 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
80 1p2e3 11344 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
811, 1, 29, 79, 80decaddi 11771 . . . . 5 ((11 · 1) + 2) = 13
8277, 81eqtri 2782 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 2)) = 13
83 eqid 2760 . . . . 5 11 = 11
8475mulid2i 10235 . . . . . . 7 (1 · 2) = 2
85 00id 10403 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
8684, 85oveq12i 6825 . . . . . 6 ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
8775addid1i 10415 . . . . . 6 (2 + 0) = 2
8886, 87eqtri 2782 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
8984oveq1i 6823 . . . . . 6 ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
90 7p2e9 11364 . . . . . . 7 (7 + 2) = 9
9155, 75, 90addcomli 10420 . . . . . 6 (2 + 7) = 9
928dec0h 11714 . . . . . 6 9 = 09
9389, 91, 923eqtri 2786 . . . . 5 ((1 · 2) + 7) = 09
941, 1, 23, 54, 83, 73, 29, 8, 23, 88, 93decmac 11758 . . . 4 ((11 · 2) + 7) = 29
951, 29, 23, 54, 72, 73, 74, 8, 29, 82, 94decma2c 11760 . . 3 ((11 · 12) + 7) = 139
96 7lt10 11867 . . . 4 7 < 10
9722, 1, 54, 96declti 11738 . . 3 7 < 11
9870, 71, 49, 95, 97ndvdsi 15338 . 2 ¬ 11 ∥ 139
99 10nn0 11708 . . 3 10 ∈ ℕ0
100 eqid 2760 . . . 4 10 = 10
101 eqid 2760 . . . . 5 13 = 13
10223dec0h 11714 . . . . . 6 0 = 00
10385, 102eqtri 2782 . . . . 5 (0 + 0) = 00
10426mulid1i 10234 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
105104, 85oveq12i 6825 . . . . . 6 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
10626addid1i 10415 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
107105, 106eqtri 2782 . . . . 5 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10832mulid1i 10234 . . . . . . 7 (3 · 1) = 3
109108oveq1i 6823 . . . . . 6 ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
11032addid1i 10415 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
1112dec0h 11714 . . . . . 6 3 = 03
112109, 110, 1113eqtri 2786 . . . . 5 ((3 · 1) + 0) = 03
1131, 2, 23, 23, 101, 103, 1, 2, 23, 107, 112decmac 11758 . . . 4 ((13 · 1) + (0 + 0)) = 13
1143nn0cni 11496 . . . . . . 7 13 ∈ ℂ
115114mul01i 10418 . . . . . 6 (13 · 0) = 0
116115oveq1i 6823 . . . . 5 ((13 · 0) + 9) = (0 + 9)
11761addid2i 10416 . . . . 5 (0 + 9) = 9
118116, 117, 923eqtri 2786 . . . 4 ((13 · 0) + 9) = 09
1191, 23, 23, 8, 100, 92, 3, 8, 23, 113, 118decma2c 11760 . . 3 ((13 · 10) + 9) = 139
12022, 2, 8, 11declti 11738 . . 3 9 < 13
12114, 99, 4, 119, 120ndvdsi 15338 . 2 ¬ 13 ∥ 139
1221, 49decnncl 11710 . . 3 17 ∈ ℕ
123 eqid 2760 . . . 4 17 = 17
124 5nn0 11504 . . . 4 5 ∈ ℕ0
125 8cn 11298 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
126125mulid2i 10235 . . . . . 6 (1 · 8) = 8
127 5cn 11292 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
128127addid2i 10416 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
129126, 128oveq12i 6825 . . . . 5 ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
130 8p5e13 11807 . . . . 5 (8 + 5) = 13
131129, 130eqtri 2782 . . . 4 ((1 · 8) + (0 + 5)) = 13
132 8t7e56 11853 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
133125, 55, 132mulcomli 10239 . . . . 5 (7 · 8) = 56
134124, 20, 2, 133, 64decaddi 11771 . . . 4 ((7 · 8) + 3) = 59
1351, 54, 23, 2, 123, 111, 6, 8, 124, 131, 134decmac 11758 . . 3 ((17 · 8) + 3) = 139
13622, 54, 2, 10declti 11738 . . 3 3 < 17
137122, 6, 13, 135, 136ndvdsi 15338 . 2 ¬ 17 ∥ 139
1381, 4decnncl 11710 . . 3 19 ∈ ℕ
13955mulid2i 10235 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
140139, 57oveq12i 6825 . . . . 5 ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
141140, 59eqtri 2782 . . . 4 ((1 · 7) + (0 + 6)) = 13
14220, 2, 20, 62, 65decaddi 11771 . . . 4 ((9 · 7) + 6) = 69
1431, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 141, 142decmac 11758 . . 3 ((19 · 7) + 6) = 139
144 6lt10 11868 . . . 4 6 < 10
14522, 8, 20, 144declti 11738 . . 3 6 < 19
146138, 54, 51, 143, 145ndvdsi 15338 . 2 ¬ 19 ∥ 139
14729, 13decnncl 11710 . . 3 23 ∈ ℕ
148 eqid 2760 . . . 4 23 = 23
149 6t2e12 11833 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
15038, 75, 149mulcomli 10239 . . . . 5 (2 · 6) = 12
1511, 29, 30, 150decsuc 11727 . . . 4 ((2 · 6) + 1) = 13
15229, 2, 1, 148, 20, 8, 1, 151, 41decrmac 11769 . . 3 ((23 · 6) + 1) = 139
153 2nn 11377 . . . 4 2 ∈ ℕ
154153, 2, 1, 15declti 11738 . . 3 1 < 23
155147, 20, 22, 152, 154ndvdsi 15338 . 2 ¬ 23 ∥ 139
1565, 12, 16, 19, 44, 48, 69, 98, 121, 137, 146, 155prmlem2 16029 1 139 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  5c5 11265  6c6 11266  7c7 11267  8c8 11268  9c9 11269  cdc 11685  cprime 15587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-prm 15588
This theorem is referenced by:  2503prm  16049
  Copyright terms: Public domain W3C validator