Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  127prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 127prm 42017
 Description: 127 is a prime number. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
127prm 127 ∈ ℙ

Proof of Theorem 127prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 11492 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 2nn0 11493 . . . 4 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11696 . . 3 12 ∈ ℕ0
4 7nn 11374 . . 3 7 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11702 . 2 127 ∈ ℕ
6 8nn0 11499 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11495 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 7nn0 11498 . . 3 7 ∈ ℕ0
9 1lt8 11405 . . 3 1 < 8
10 2lt10 11864 . . 3 2 < 10
11 7lt10 11859 . . 3 7 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 11722 . 2 127 < 841
13 2nn 11369 . . . 4 2 ∈ ℕ
141, 13decnncl 11702 . . 3 12 ∈ ℕ
15 1lt10 11865 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 11730 . 2 1 < 127
17 3nn0 11494 . . 3 3 ∈ ℕ0
18 3t2e6 11363 . . 3 (3 · 2) = 6
19 df-7 11268 . . 3 7 = (6 + 1)
203, 17, 18, 19dec2dvds 15961 . 2 ¬ 2 ∥ 127
21 3nn 11370 . . . 4 3 ∈ ℕ
22 1nn 11215 . . . 4 1 ∈ ℕ
23 3t3e9 11364 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
2423oveq1i 6815 . . . . 5 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
25 9p1e10 11680 . . . . 5 (9 + 1) = 10
2624, 25eqtri 2774 . . . 4 ((3 · 3) + 1) = 10
27 1lt3 11380 . . . 4 1 < 3
2821, 17, 22, 26, 27ndvdsi 15330 . . 3 ¬ 3 ∥ 10
291, 2, 83dvds2dec 15250 . . . 4 (3 ∥ 127 ↔ 3 ∥ ((1 + 2) + 7))
30 1p2e3 11336 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
3130oveq1i 6815 . . . . . 6 ((1 + 2) + 7) = (3 + 7)
32 7cn 11288 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
33 3cn 11279 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
34 7p3e10 11787 . . . . . . 7 (7 + 3) = 10
3532, 33, 34addcomli 10412 . . . . . 6 (3 + 7) = 10
3631, 35eqtri 2774 . . . . 5 ((1 + 2) + 7) = 10
3736breq2i 4804 . . . 4 (3 ∥ ((1 + 2) + 7) ↔ 3 ∥ 10)
3829, 37bitri 264 . . 3 (3 ∥ 127 ↔ 3 ∥ 10)
3928, 38mtbir 312 . 2 ¬ 3 ∥ 127
40 2lt5 11386 . . 3 2 < 5
41 5p2e7 11349 . . 3 (5 + 2) = 7
423, 13, 40, 41dec5dvds2 15963 . 2 ¬ 5 ∥ 127
431, 6deccl 11696 . . 3 18 ∈ ℕ0
44 0nn0 11491 . . . 4 0 ∈ ℕ0
45 eqid 2752 . . . 4 18 = 18
461dec0h 11706 . . . 4 1 = 01
47 5nn0 11496 . . . 4 5 ∈ ℕ0
4832mulid1i 10226 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 5cn 11284 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
5049addid2i 10408 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
5148, 50oveq12i 6817 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 5)) = (7 + 5)
52 7p5e12 11791 . . . . 5 (7 + 5) = 12
5351, 52eqtri 2774 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 5)) = 12
54 6nn0 11497 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
55 8cn 11290 . . . . . 6 8 ∈ ℂ
56 8t7e56 11845 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
5755, 32, 56mulcomli 10231 . . . . 5 (7 · 8) = 56
58 6p1e7 11340 . . . . 5 (6 + 1) = 7
5947, 54, 1, 57, 58decaddi 11763 . . . 4 ((7 · 8) + 1) = 57
601, 6, 44, 1, 45, 46, 8, 8, 47, 53, 59decma2c 11752 . . 3 ((7 · 18) + 1) = 127
61 1lt7 11398 . . 3 1 < 7
624, 43, 22, 60, 61ndvdsi 15330 . 2 ¬ 7 ∥ 127
631, 22decnncl 11702 . . 3 11 ∈ ℕ
641, 1deccl 11696 . . 3 11 ∈ ℕ0
65 6nn 11373 . . 3 6 ∈ ℕ
66 eqid 2752 . . . 4 11 = 11
6754dec0h 11706 . . . 4 6 = 06
6864nn0cni 11488 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
6968mulid1i 10226 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
70 ax-1cn 10178 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7170addid2i 10408 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
7269, 71oveq12i 6817 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 1)) = (11 + 1)
73 1p1e2 11318 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
741, 1, 1, 66, 73decaddi 11763 . . . . 5 (11 + 1) = 12
7572, 74eqtri 2774 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 1)) = 12
76 6cn 11286 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
7776, 70, 58addcomli 10412 . . . . 5 (1 + 6) = 7
781, 1, 54, 69, 77decaddi 11763 . . . 4 ((11 · 1) + 6) = 17
791, 1, 44, 54, 66, 67, 64, 8, 1, 75, 78decma2c 11752 . . 3 ((11 · 11) + 6) = 127
80 6lt10 11860 . . . 4 6 < 10
8122, 1, 54, 80declti 11730 . . 3 6 < 11
8263, 64, 65, 79, 81ndvdsi 15330 . 2 ¬ 11 ∥ 127
831, 21decnncl 11702 . . 3 13 ∈ ℕ
84 9nn0 11500 . . 3 9 ∈ ℕ0
85 10nn 11698 . . 3 10 ∈ ℕ
86 eqid 2752 . . . 4 13 = 13
87 eqid 2752 . . . 4 10 = 10
88 9cn 11292 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
8988mulid2i 10227 . . . . . 6 (1 · 9) = 9
9089, 30oveq12i 6817 . . . . 5 ((1 · 9) + (1 + 2)) = (9 + 3)
91 9p3e12 11805 . . . . 5 (9 + 3) = 12
9290, 91eqtri 2774 . . . 4 ((1 · 9) + (1 + 2)) = 12
93 9t3e27 11848 . . . . . 6 (9 · 3) = 27
9488, 33, 93mulcomli 10231 . . . . 5 (3 · 9) = 27
9532addid1i 10407 . . . . 5 (7 + 0) = 7
962, 8, 44, 94, 95decaddi 11763 . . . 4 ((3 · 9) + 0) = 27
971, 17, 1, 44, 86, 87, 84, 8, 2, 92, 96decmac 11750 . . 3 ((13 · 9) + 10) = 127
98 3pos 11298 . . . 4 0 < 3
991, 44, 21, 98declt 11714 . . 3 10 < 13
10083, 84, 85, 97, 99ndvdsi 15330 . 2 ¬ 13 ∥ 127
1011, 4decnncl 11702 . . 3 17 ∈ ℕ
102 8nn 11375 . . 3 8 ∈ ℕ
103 eqid 2752 . . . 4 17 = 17
10432mulid2i 10227 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
105104oveq1i 6815 . . . . 5 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
106105, 52eqtri 2774 . . . 4 ((1 · 7) + 5) = 12
107 7t7e49 11837 . . . . 5 (7 · 7) = 49
108 4p1e5 11338 . . . . 5 (4 + 1) = 5
109 9p8e17 11810 . . . . 5 (9 + 8) = 17
1107, 84, 6, 107, 108, 8, 109decaddci 11764 . . . 4 ((7 · 7) + 8) = 57
1111, 8, 6, 103, 8, 8, 47, 106, 110decrmac 11761 . . 3 ((17 · 7) + 8) = 127
112 8lt10 11858 . . . 4 8 < 10
11322, 8, 6, 112declti 11730 . . 3 8 < 17
114101, 8, 102, 111, 113ndvdsi 15330 . 2 ¬ 17 ∥ 127
115 9nn 11376 . . . 4 9 ∈ ℕ
1161, 115decnncl 11702 . . 3 19 ∈ ℕ
117 eqid 2752 . . . 4 19 = 19
11876mulid2i 10227 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
119 5p1e6 11339 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
12049, 70, 119addcomli 10412 . . . . . 6 (1 + 5) = 6
121118, 120oveq12i 6817 . . . . 5 ((1 · 6) + (1 + 5)) = (6 + 6)
122 6p6e12 11786 . . . . 5 (6 + 6) = 12
123121, 122eqtri 2774 . . . 4 ((1 · 6) + (1 + 5)) = 12
124 9t6e54 11851 . . . . 5 (9 · 6) = 54
125 4p3e7 11347 . . . . 5 (4 + 3) = 7
12647, 7, 17, 124, 125decaddi 11763 . . . 4 ((9 · 6) + 3) = 57
1271, 84, 1, 17, 117, 86, 54, 8, 47, 123, 126decmac 11750 . . 3 ((19 · 6) + 13) = 127
128 3lt9 11411 . . . 4 3 < 9
1291, 17, 115, 128declt 11714 . . 3 13 < 19
130116, 54, 83, 127, 129ndvdsi 15330 . 2 ¬ 19 ∥ 127
1312, 21decnncl 11702 . . 3 23 ∈ ℕ
132 eqid 2752 . . . 4 23 = 23
133 eqid 2752 . . . 4 12 = 12
134 2cn 11275 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
135 5t2e10 11818 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
13649, 134, 135mulcomli 10231 . . . . . 6 (2 · 5) = 10
137136, 73oveq12i 6817 . . . . 5 ((2 · 5) + (1 + 1)) = (10 + 2)
138 dec10p 11737 . . . . 5 (10 + 2) = 12
139137, 138eqtri 2774 . . . 4 ((2 · 5) + (1 + 1)) = 12
140 5t3e15 11819 . . . . . 6 (5 · 3) = 15
14149, 33, 140mulcomli 10231 . . . . 5 (3 · 5) = 15
1421, 47, 2, 141, 41decaddi 11763 . . . 4 ((3 · 5) + 2) = 17
1432, 17, 1, 2, 132, 133, 47, 8, 1, 139, 142decmac 11750 . . 3 ((23 · 5) + 12) = 127
144 1lt2 11378 . . . 4 1 < 2
1451, 2, 2, 17, 10, 144decltc 11716 . . 3 12 < 23
146131, 47, 14, 143, 145ndvdsi 15330 . 2 ¬ 23 ∥ 127
1475, 12, 16, 20, 39, 42, 62, 82, 100, 114, 130, 146prmlem2 16021 1 127 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 2131   class class class wbr 4796  (class class class)co 6805  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125  2c2 11254  3c3 11255  4c4 11256  5c5 11257  6c6 11258  7c7 11259  8c8 11260  9c9 11261  ;cdc 11677   ∥ cdvds 15174  ℙcprime 15579 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-dvds 15175  df-prm 15580 This theorem is referenced by:  m7prm  42018
 Copyright terms: Public domain W3C validator