Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem5 16049
 Description: Lemma for 1259prm 16050. Calculate the GCD of 2↑34 − 1≡869 with 𝑁 = 1259. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem5 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 1259lem5
StepHypRef Expression
1 2nn 11387 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 3nn0 11512 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 4nn0 11513 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11714 . . . 4 34 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 13080 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 34 ∈ ℕ0) → (2↑34) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 672 . . 3 (2↑34) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 11536 . . 3 ((2↑34) ∈ ℕ → ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0
9 8nn0 11517 . . . 4 8 ∈ ℕ0
10 6nn0 11515 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 11714 . . 3 86 ∈ ℕ0
12 9nn0 11518 . . 3 9 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 11714 . 2 869 ∈ ℕ0
14 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
15 1nn0 11510 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 2nn0 11511 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 11714 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
18 5nn0 11514 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 11714 . . . 4 125 ∈ ℕ0
20 9nn 11394 . . . 4 9 ∈ ℕ
2119, 20decnncl 11720 . . 3 1259 ∈ ℕ
2214, 21eqeltri 2846 . 2 𝑁 ∈ ℕ
23141259lem2 16046 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
24 6p1e7 11358 . . . . 5 (6 + 1) = 7
25 eqid 2771 . . . . 5 86 = 86
269, 10, 24, 25decsuc 11737 . . . 4 (86 + 1) = 87
27 eqid 2771 . . . 4 869 = 869
2811, 26, 27decsucc 11752 . . 3 (869 + 1) = 870
2922, 6, 15, 13, 23, 28modsubi 15983 . 2 (((2↑34) − 1) mod 𝑁) = (869 mod 𝑁)
302, 12deccl 11714 . . . 4 39 ∈ ℕ0
31 0nn0 11509 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3230, 31deccl 11714 . . 3 390 ∈ ℕ0
339, 12deccl 11714 . . . 4 89 ∈ ℕ0
3416, 15deccl 11714 . . . . . 6 21 ∈ ℕ0
3515, 2deccl 11714 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
3634nn0zi 11604 . . . . . . . . 9 21 ∈ ℤ
3735nn0zi 11604 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℤ
38 gcdcom 15443 . . . . . . . . 9 ((21 ∈ ℤ ∧ 13 ∈ ℤ) → (21 gcd 13) = (13 gcd 21))
3936, 37, 38mp2an 672 . . . . . . . 8 (21 gcd 13) = (13 gcd 21)
40 3nn 11388 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4115, 40decnncl 11720 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℕ
42 8nn 11393 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ
43 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 13 = 13
449dec0h 11724 . . . . . . . . . . 11 8 = 08
45 ax-1cn 10196 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
4645mulid1i 10244 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
4745addid2i 10426 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
4846, 47oveq12i 6805 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
49 1p1e2 11336 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = 2
5048, 49eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
51 3cn 11297 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
5251mulid1i 10244 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 1) = 3
5352oveq1i 6803 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 1) + 8) = (3 + 8)
54 8cn 11308 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℂ
55 8p3e11 11813 . . . . . . . . . . . . 13 (8 + 3) = 11
5654, 51, 55addcomli 10430 . . . . . . . . . . . 12 (3 + 8) = 11
5753, 56eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 1) + 8) = 11
5815, 2, 31, 9, 43, 44, 15, 15, 15, 50, 57decmac 11767 . . . . . . . . . 10 ((13 · 1) + 8) = 21
59 1nn 11233 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
60 8lt10 11875 . . . . . . . . . . 11 8 < 10
6159, 2, 9, 60declti 11748 . . . . . . . . . 10 8 < 13
6241, 15, 42, 58, 61ndvdsi 15344 . . . . . . . . 9 ¬ 13 ∥ 21
63 13prm 16030 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℙ
64 coprm 15630 . . . . . . . . . 10 ((13 ∈ ℙ ∧ 21 ∈ ℤ) → (¬ 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1))
6563, 36, 64mp2an 672 . . . . . . . . 9 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1)
6662, 65mpbi 220 . . . . . . . 8 (13 gcd 21) = 1
6739, 66eqtri 2793 . . . . . . 7 (21 gcd 13) = 1
68 eqid 2771 . . . . . . . 8 21 = 21
69 2cn 11293 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
7069mulid2i 10245 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
7145addid1i 10425 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
7270, 71oveq12i 6805 . . . . . . . . 9 ((1 · 2) + (1 + 0)) = (2 + 1)
73 2p1e3 11353 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
7472, 73eqtri 2793 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (1 + 0)) = 3
7546oveq1i 6803 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 3) = (1 + 3)
76 3p1e4 11355 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
7751, 45, 76addcomli 10430 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
783dec0h 11724 . . . . . . . . 9 4 = 04
7975, 77, 783eqtri 2797 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 3) = 04
8016, 15, 15, 2, 68, 43, 15, 3, 31, 74, 79decma2c 11769 . . . . . . 7 ((1 · 21) + 13) = 34
8115, 35, 34, 67, 80gcdi 15984 . . . . . 6 (34 gcd 21) = 1
82 eqid 2771 . . . . . . 7 34 = 34
83 3t2e6 11381 . . . . . . . . . 10 (3 · 2) = 6
8451, 69, 83mulcomli 10249 . . . . . . . . 9 (2 · 3) = 6
8569addid1i 10425 . . . . . . . . 9 (2 + 0) = 2
8684, 85oveq12i 6805 . . . . . . . 8 ((2 · 3) + (2 + 0)) = (6 + 2)
87 6p2e8 11371 . . . . . . . 8 (6 + 2) = 8
8886, 87eqtri 2793 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (2 + 0)) = 8
89 4cn 11300 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
90 4t2e8 11383 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
9189, 69, 90mulcomli 10249 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
9291oveq1i 6803 . . . . . . . 8 ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
93 8p1e9 11360 . . . . . . . 8 (8 + 1) = 9
9412dec0h 11724 . . . . . . . 8 9 = 09
9592, 93, 943eqtri 2797 . . . . . . 7 ((2 · 4) + 1) = 09
962, 3, 16, 15, 82, 68, 16, 12, 31, 88, 95decma2c 11769 . . . . . 6 ((2 · 34) + 21) = 89
9716, 34, 4, 81, 96gcdi 15984 . . . . 5 (89 gcd 34) = 1
98 eqid 2771 . . . . . 6 89 = 89
99 4p3e7 11365 . . . . . . . . 9 (4 + 3) = 7
10089, 51, 99addcomli 10430 . . . . . . . 8 (3 + 4) = 7
101100oveq2i 6804 . . . . . . 7 ((4 · 8) + (3 + 4)) = ((4 · 8) + 7)
102 7nn0 11516 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
103 8t4e32 11857 . . . . . . . . 9 (8 · 4) = 32
10454, 89, 103mulcomli 10249 . . . . . . . 8 (4 · 8) = 32
105 7cn 11306 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
106 7p2e9 11374 . . . . . . . . 9 (7 + 2) = 9
107105, 69, 106addcomli 10430 . . . . . . . 8 (2 + 7) = 9
1082, 16, 102, 104, 107decaddi 11780 . . . . . . 7 ((4 · 8) + 7) = 39
109101, 108eqtri 2793 . . . . . 6 ((4 · 8) + (3 + 4)) = 39
110 9cn 11310 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
111 9t4e36 11866 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
112110, 89, 111mulcomli 10249 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
113 6p4e10 11799 . . . . . . 7 (6 + 4) = 10
1142, 10, 3, 112, 76, 113decaddci2 11782 . . . . . 6 ((4 · 9) + 4) = 40
1159, 12, 2, 3, 98, 82, 3, 31, 3, 109, 114decma2c 11769 . . . . 5 ((4 · 89) + 34) = 390
1163, 4, 33, 97, 115gcdi 15984 . . . 4 (390 gcd 89) = 1
117 eqid 2771 . . . . 5 390 = 390
118 eqid 2771 . . . . . 6 39 = 39
11954addid1i 10425 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
120119, 44eqtri 2793 . . . . . 6 (8 + 0) = 08
12169addid2i 10426 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
12284, 121oveq12i 6805 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (0 + 2)) = (6 + 2)
123122, 87eqtri 2793 . . . . . 6 ((2 · 3) + (0 + 2)) = 8
124 9t2e18 11864 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
125110, 69, 124mulcomli 10249 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
126 8p8e16 11819 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
12715, 9, 9, 125, 49, 10, 126decaddci 11781 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1282, 12, 31, 9, 118, 120, 16, 10, 16, 123, 127decma2c 11769 . . . . 5 ((2 · 39) + (8 + 0)) = 86
129 2t0e0 11385 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
130129oveq1i 6803 . . . . . 6 ((2 · 0) + 9) = (0 + 9)
131110addid2i 10426 . . . . . 6 (0 + 9) = 9
132130, 131, 943eqtri 2797 . . . . 5 ((2 · 0) + 9) = 09
13330, 31, 9, 12, 117, 98, 16, 12, 31, 128, 132decma2c 11769 . . . 4 ((2 · 390) + 89) = 869
13416, 33, 32, 116, 133gcdi 15984 . . 3 (869 gcd 390) = 1
13530nn0cni 11506 . . . . . . 7 39 ∈ ℂ
136135addid1i 10425 . . . . . 6 (39 + 0) = 39
13754mulid2i 10245 . . . . . . . 8 (1 · 8) = 8
138137, 76oveq12i 6805 . . . . . . 7 ((1 · 8) + (3 + 1)) = (8 + 4)
139 8p4e12 11815 . . . . . . 7 (8 + 4) = 12
140138, 139eqtri 2793 . . . . . 6 ((1 · 8) + (3 + 1)) = 12
141 6cn 11304 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
142141mulid2i 10245 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
143142oveq1i 6803 . . . . . . 7 ((1 · 6) + 9) = (6 + 9)
144 9p6e15 11825 . . . . . . . 8 (9 + 6) = 15
145110, 141, 144addcomli 10430 . . . . . . 7 (6 + 9) = 15
146143, 145eqtri 2793 . . . . . 6 ((1 · 6) + 9) = 15
1479, 10, 2, 12, 25, 136, 15, 18, 15, 140, 146decma2c 11769 . . . . 5 ((1 · 86) + (39 + 0)) = 125
148110mulid2i 10245 . . . . . . 7 (1 · 9) = 9
149148oveq1i 6803 . . . . . 6 ((1 · 9) + 0) = (9 + 0)
150110addid1i 10425 . . . . . 6 (9 + 0) = 9
151149, 150, 943eqtri 2797 . . . . 5 ((1 · 9) + 0) = 09
15211, 12, 30, 31, 27, 117, 15, 12, 31, 147, 151decma2c 11769 . . . 4 ((1 · 869) + 390) = 1259
153152, 14eqtr4i 2796 . . 3 ((1 · 869) + 390) = 𝑁
15415, 32, 13, 134, 153gcdi 15984 . 2 (𝑁 gcd 869) = 1
1558, 13, 22, 29, 154gcdmodi 15985 1 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   − cmin 10468  ℕcn 11222  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  7c7 11277  8c8 11278  9c9 11279  ℕ0cn0 11494  ℤcz 11579  ;cdc 11695  ↑cexp 13067   ∥ cdvds 15189   gcd cgcd 15424  ℙcprime 15592 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593 This theorem is referenced by:  1259prm  16050
 Copyright terms: Public domain W3C validator