MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem5 16049
Description: Lemma for 1259prm 16050. Calculate the GCD of 2↑34 − 1≡869 with 𝑁 = 1259. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem5 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 1259lem5
StepHypRef Expression
1 2nn 11387 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 3nn0 11512 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 4nn0 11513 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11714 . . . 4 34 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 13080 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 34 ∈ ℕ0) → (2↑34) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 672 . . 3 (2↑34) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 11536 . . 3 ((2↑34) ∈ ℕ → ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0
9 8nn0 11517 . . . 4 8 ∈ ℕ0
10 6nn0 11515 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 11714 . . 3 86 ∈ ℕ0
12 9nn0 11518 . . 3 9 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 11714 . 2 869 ∈ ℕ0
14 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
15 1nn0 11510 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 2nn0 11511 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 11714 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
18 5nn0 11514 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 11714 . . . 4 125 ∈ ℕ0
20 9nn 11394 . . . 4 9 ∈ ℕ
2119, 20decnncl 11720 . . 3 1259 ∈ ℕ
2214, 21eqeltri 2846 . 2 𝑁 ∈ ℕ
23141259lem2 16046 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
24 6p1e7 11358 . . . . 5 (6 + 1) = 7
25 eqid 2771 . . . . 5 86 = 86
269, 10, 24, 25decsuc 11737 . . . 4 (86 + 1) = 87
27 eqid 2771 . . . 4 869 = 869
2811, 26, 27decsucc 11752 . . 3 (869 + 1) = 870
2922, 6, 15, 13, 23, 28modsubi 15983 . 2 (((2↑34) − 1) mod 𝑁) = (869 mod 𝑁)
302, 12deccl 11714 . . . 4 39 ∈ ℕ0
31 0nn0 11509 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3230, 31deccl 11714 . . 3 390 ∈ ℕ0
339, 12deccl 11714 . . . 4 89 ∈ ℕ0
3416, 15deccl 11714 . . . . . 6 21 ∈ ℕ0
3515, 2deccl 11714 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
3634nn0zi 11604 . . . . . . . . 9 21 ∈ ℤ
3735nn0zi 11604 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℤ
38 gcdcom 15443 . . . . . . . . 9 ((21 ∈ ℤ ∧ 13 ∈ ℤ) → (21 gcd 13) = (13 gcd 21))
3936, 37, 38mp2an 672 . . . . . . . 8 (21 gcd 13) = (13 gcd 21)
40 3nn 11388 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4115, 40decnncl 11720 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℕ
42 8nn 11393 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ
43 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 13 = 13
449dec0h 11724 . . . . . . . . . . 11 8 = 08
45 ax-1cn 10196 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
4645mulid1i 10244 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
4745addid2i 10426 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
4846, 47oveq12i 6805 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
49 1p1e2 11336 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = 2
5048, 49eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
51 3cn 11297 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
5251mulid1i 10244 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 1) = 3
5352oveq1i 6803 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 1) + 8) = (3 + 8)
54 8cn 11308 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℂ
55 8p3e11 11813 . . . . . . . . . . . . 13 (8 + 3) = 11
5654, 51, 55addcomli 10430 . . . . . . . . . . . 12 (3 + 8) = 11
5753, 56eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 1) + 8) = 11
5815, 2, 31, 9, 43, 44, 15, 15, 15, 50, 57decmac 11767 . . . . . . . . . 10 ((13 · 1) + 8) = 21
59 1nn 11233 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
60 8lt10 11875 . . . . . . . . . . 11 8 < 10
6159, 2, 9, 60declti 11748 . . . . . . . . . 10 8 < 13
6241, 15, 42, 58, 61ndvdsi 15344 . . . . . . . . 9 ¬ 13 ∥ 21
63 13prm 16030 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℙ
64 coprm 15630 . . . . . . . . . 10 ((13 ∈ ℙ ∧ 21 ∈ ℤ) → (¬ 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1))
6563, 36, 64mp2an 672 . . . . . . . . 9 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1)
6662, 65mpbi 220 . . . . . . . 8 (13 gcd 21) = 1
6739, 66eqtri 2793 . . . . . . 7 (21 gcd 13) = 1
68 eqid 2771 . . . . . . . 8 21 = 21
69 2cn 11293 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
7069mulid2i 10245 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
7145addid1i 10425 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
7270, 71oveq12i 6805 . . . . . . . . 9 ((1 · 2) + (1 + 0)) = (2 + 1)
73 2p1e3 11353 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
7472, 73eqtri 2793 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (1 + 0)) = 3
7546oveq1i 6803 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 3) = (1 + 3)
76 3p1e4 11355 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
7751, 45, 76addcomli 10430 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
783dec0h 11724 . . . . . . . . 9 4 = 04
7975, 77, 783eqtri 2797 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 3) = 04
8016, 15, 15, 2, 68, 43, 15, 3, 31, 74, 79decma2c 11769 . . . . . . 7 ((1 · 21) + 13) = 34
8115, 35, 34, 67, 80gcdi 15984 . . . . . 6 (34 gcd 21) = 1
82 eqid 2771 . . . . . . 7 34 = 34
83 3t2e6 11381 . . . . . . . . . 10 (3 · 2) = 6
8451, 69, 83mulcomli 10249 . . . . . . . . 9 (2 · 3) = 6
8569addid1i 10425 . . . . . . . . 9 (2 + 0) = 2
8684, 85oveq12i 6805 . . . . . . . 8 ((2 · 3) + (2 + 0)) = (6 + 2)
87 6p2e8 11371 . . . . . . . 8 (6 + 2) = 8
8886, 87eqtri 2793 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (2 + 0)) = 8
89 4cn 11300 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
90 4t2e8 11383 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
9189, 69, 90mulcomli 10249 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
9291oveq1i 6803 . . . . . . . 8 ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
93 8p1e9 11360 . . . . . . . 8 (8 + 1) = 9
9412dec0h 11724 . . . . . . . 8 9 = 09
9592, 93, 943eqtri 2797 . . . . . . 7 ((2 · 4) + 1) = 09
962, 3, 16, 15, 82, 68, 16, 12, 31, 88, 95decma2c 11769 . . . . . 6 ((2 · 34) + 21) = 89
9716, 34, 4, 81, 96gcdi 15984 . . . . 5 (89 gcd 34) = 1
98 eqid 2771 . . . . . 6 89 = 89
99 4p3e7 11365 . . . . . . . . 9 (4 + 3) = 7
10089, 51, 99addcomli 10430 . . . . . . . 8 (3 + 4) = 7
101100oveq2i 6804 . . . . . . 7 ((4 · 8) + (3 + 4)) = ((4 · 8) + 7)
102 7nn0 11516 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
103 8t4e32 11857 . . . . . . . . 9 (8 · 4) = 32
10454, 89, 103mulcomli 10249 . . . . . . . 8 (4 · 8) = 32
105 7cn 11306 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
106 7p2e9 11374 . . . . . . . . 9 (7 + 2) = 9
107105, 69, 106addcomli 10430 . . . . . . . 8 (2 + 7) = 9
1082, 16, 102, 104, 107decaddi 11780 . . . . . . 7 ((4 · 8) + 7) = 39
109101, 108eqtri 2793 . . . . . 6 ((4 · 8) + (3 + 4)) = 39
110 9cn 11310 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
111 9t4e36 11866 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
112110, 89, 111mulcomli 10249 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
113 6p4e10 11799 . . . . . . 7 (6 + 4) = 10
1142, 10, 3, 112, 76, 113decaddci2 11782 . . . . . 6 ((4 · 9) + 4) = 40
1159, 12, 2, 3, 98, 82, 3, 31, 3, 109, 114decma2c 11769 . . . . 5 ((4 · 89) + 34) = 390
1163, 4, 33, 97, 115gcdi 15984 . . . 4 (390 gcd 89) = 1
117 eqid 2771 . . . . 5 390 = 390
118 eqid 2771 . . . . . 6 39 = 39
11954addid1i 10425 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
120119, 44eqtri 2793 . . . . . 6 (8 + 0) = 08
12169addid2i 10426 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
12284, 121oveq12i 6805 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (0 + 2)) = (6 + 2)
123122, 87eqtri 2793 . . . . . 6 ((2 · 3) + (0 + 2)) = 8
124 9t2e18 11864 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
125110, 69, 124mulcomli 10249 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
126 8p8e16 11819 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
12715, 9, 9, 125, 49, 10, 126decaddci 11781 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1282, 12, 31, 9, 118, 120, 16, 10, 16, 123, 127decma2c 11769 . . . . 5 ((2 · 39) + (8 + 0)) = 86
129 2t0e0 11385 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
130129oveq1i 6803 . . . . . 6 ((2 · 0) + 9) = (0 + 9)
131110addid2i 10426 . . . . . 6 (0 + 9) = 9
132130, 131, 943eqtri 2797 . . . . 5 ((2 · 0) + 9) = 09
13330, 31, 9, 12, 117, 98, 16, 12, 31, 128, 132decma2c 11769 . . . 4 ((2 · 390) + 89) = 869
13416, 33, 32, 116, 133gcdi 15984 . . 3 (869 gcd 390) = 1
13530nn0cni 11506 . . . . . . 7 39 ∈ ℂ
136135addid1i 10425 . . . . . 6 (39 + 0) = 39
13754mulid2i 10245 . . . . . . . 8 (1 · 8) = 8
138137, 76oveq12i 6805 . . . . . . 7 ((1 · 8) + (3 + 1)) = (8 + 4)
139 8p4e12 11815 . . . . . . 7 (8 + 4) = 12
140138, 139eqtri 2793 . . . . . 6 ((1 · 8) + (3 + 1)) = 12
141 6cn 11304 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
142141mulid2i 10245 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
143142oveq1i 6803 . . . . . . 7 ((1 · 6) + 9) = (6 + 9)
144 9p6e15 11825 . . . . . . . 8 (9 + 6) = 15
145110, 141, 144addcomli 10430 . . . . . . 7 (6 + 9) = 15
146143, 145eqtri 2793 . . . . . 6 ((1 · 6) + 9) = 15
1479, 10, 2, 12, 25, 136, 15, 18, 15, 140, 146decma2c 11769 . . . . 5 ((1 · 86) + (39 + 0)) = 125
148110mulid2i 10245 . . . . . . 7 (1 · 9) = 9
149148oveq1i 6803 . . . . . 6 ((1 · 9) + 0) = (9 + 0)
150110addid1i 10425 . . . . . 6 (9 + 0) = 9
151149, 150, 943eqtri 2797 . . . . 5 ((1 · 9) + 0) = 09
15211, 12, 30, 31, 27, 117, 15, 12, 31, 147, 151decma2c 11769 . . . 4 ((1 · 869) + 390) = 1259
153152, 14eqtr4i 2796 . . 3 ((1 · 869) + 390) = 𝑁
15415, 32, 13, 134, 153gcdi 15984 . 2 (𝑁 gcd 869) = 1
1558, 13, 22, 29, 154gcdmodi 15985 1 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  cmin 10468  cn 11222  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  7c7 11277  8c8 11278  9c9 11279  0cn0 11494  cz 11579  cdc 11695  cexp 13067  cdvds 15189   gcd cgcd 15424  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593
This theorem is referenced by:  1259prm  16050
  Copyright terms: Public domain W3C validator