MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem1 15885
Description: Lemma for 1259prm 15890. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 11346 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 11347 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11550 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 11350 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11550 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 11230 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11556 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2726 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11223 . 2 2 ∈ ℕ
11 6nn0 11351 . . 3 6 ∈ ℕ0
122, 11deccl 11550 . 2 16 ∈ ℕ0
13 0z 11426 . 2 0 ∈ ℤ
14 8nn0 11353 . . 3 8 ∈ ℕ0
1511, 14deccl 11550 . 2 68 ∈ ℕ0
16 3nn0 11348 . . . 4 3 ∈ ℕ0
172, 16deccl 11550 . . 3 13 ∈ ℕ0
1817, 11deccl 11550 . 2 136 ∈ ℕ0
195, 3deccl 11550 . . . 4 52 ∈ ℕ0
2019nn0zi 11440 . . 3 52 ∈ ℤ
213, 14nn0expcli 12926 . . 3 (2↑8) ∈ ℕ0
22 eqid 2651 . . 3 ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
2314nn0cni 11342 . . . 4 8 ∈ ℂ
24 2cn 11129 . . . 4 2 ∈ ℂ
25 8t2e16 11692 . . . 4 (8 · 2) = 16
2623, 24, 25mulcomli 10085 . . 3 (2 · 8) = 16
27 9nn0 11354 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
28 eqid 2651 . . . . 5 68 = 68
29 4nn0 11349 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
30 7nn0 11352 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 11550 . . . . 5 47 ∈ ℕ0
32 eqid 2651 . . . . . 6 125 = 125
33 0nn0 11345 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
3411dec0h 11560 . . . . . . 7 6 = 06
35 eqid 2651 . . . . . . 7 47 = 47
36 4cn 11136 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
3736addid2i 10262 . . . . . . . . 9 (0 + 4) = 4
3837oveq1i 6700 . . . . . . . 8 ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39 4p1e5 11192 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
4038, 39eqtri 2673 . . . . . . 7 ((0 + 4) + 1) = 5
41 7cn 11142 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
42 6cn 11140 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
43 7p6e13 11646 . . . . . . . 8 (7 + 6) = 13
4441, 42, 43addcomli 10266 . . . . . . 7 (6 + 7) = 13
4533, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44decaddc 11610 . . . . . 6 (6 + 47) = 53
463, 11deccl 11550 . . . . . 6 26 ∈ ℕ0
47 eqid 2651 . . . . . . 7 12 = 12
485dec0h 11560 . . . . . . . 8 5 = 05
49 eqid 2651 . . . . . . . 8 26 = 26
5024addid2i 10262 . . . . . . . . . 10 (0 + 2) = 2
5150oveq1i 6700 . . . . . . . . 9 ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52 2p1e3 11189 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
5351, 52eqtri 2673 . . . . . . . 8 ((0 + 2) + 1) = 3
54 5cn 11138 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
55 6p5e11 11638 . . . . . . . . 9 (6 + 5) = 11
5642, 54, 55addcomli 10266 . . . . . . . 8 (5 + 6) = 11
5733, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56decaddc 11610 . . . . . . 7 (5 + 26) = 31
58 10nn0 11554 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
59 eqid 2651 . . . . . . . 8 52 = 52
6058nn0cni 11342 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℂ
61 3cn 11133 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
62 dec10p 11591 . . . . . . . . 9 (10 + 3) = 13
6360, 61, 62addcomli 10266 . . . . . . . 8 (3 + 10) = 13
6454mulid1i 10080 . . . . . . . . . 10 (5 · 1) = 5
65 1p0e1 11171 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
6664, 65oveq12i 6702 . . . . . . . . 9 ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67 5p1e6 11193 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6866, 67eqtri 2673 . . . . . . . 8 ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
6924mulid1i 10080 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
7069oveq1i 6700 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71 3p2e5 11198 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
7261, 24, 71addcomli 10266 . . . . . . . . 9 (2 + 3) = 5
7370, 72, 483eqtri 2677 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 3) = 05
745, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73decmac 11604 . . . . . . 7 ((52 · 1) + (3 + 10)) = 65
752dec0h 11560 . . . . . . . 8 1 = 01
76 5t2e10 11672 . . . . . . . . . 10 (5 · 2) = 10
77 00id 10249 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
7876, 77oveq12i 6702 . . . . . . . . 9 ((5 · 2) + (0 + 0)) = (10 + 0)
79 dec10p 11591 . . . . . . . . 9 (10 + 0) = 10
8078, 79eqtri 2673 . . . . . . . 8 ((5 · 2) + (0 + 0)) = 10
81 2t2e4 11215 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
8281oveq1i 6700 . . . . . . . . 9 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8382, 39, 483eqtri 2677 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + 1) = 05
845, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83decmac 11604 . . . . . . 7 ((52 · 2) + 1) = 105
852, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84decma2c 11606 . . . . . 6 ((52 · 12) + (5 + 26)) = 655
86 5t5e25 11677 . . . . . . . 8 (5 · 5) = 25
873, 5, 67, 86decsuc 11573 . . . . . . 7 ((5 · 5) + 1) = 26
8854, 24, 76mulcomli 10085 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
8961addid2i 10262 . . . . . . . 8 (0 + 3) = 3
902, 33, 16, 88, 89decaddi 11617 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 3) = 13
915, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90decrmac 11615 . . . . . 6 ((52 · 5) + 3) = 263
924, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91decma2c 11606 . . . . 5 ((52 · 125) + (6 + 47)) = 6553
93 9cn 11146 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
94 9t5e45 11704 . . . . . . . 8 (9 · 5) = 45
9593, 54, 94mulcomli 10085 . . . . . . 7 (5 · 9) = 45
96 5p2e7 11203 . . . . . . 7 (5 + 2) = 7
9729, 5, 3, 95, 96decaddi 11617 . . . . . 6 ((5 · 9) + 2) = 47
98 9t2e18 11701 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
9993, 24, 98mulcomli 10085 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
100 1p1e2 11172 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
101 8p8e16 11656 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
1022, 14, 14, 99, 100, 11, 101decaddci 11618 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1035, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102decrmac 11615 . . . . 5 ((52 · 9) + 8) = 476
1046, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103decma2c 11606 . . . 4 ((52 · 𝑁) + 68) = 65536
105 2exp16 15844 . . . 4 (2↑16) = 65536
106 eqid 2651 . . . . 5 (2↑8) = (2↑8)
107 eqid 2651 . . . . 5 ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
1083, 14, 26, 106, 107numexp2x 15830 . . . 4 (2↑16) = ((2↑8) · (2↑8))
109104, 105, 1083eqtr2i 2679 . . 3 ((52 · 𝑁) + 68) = ((2↑8) · (2↑8))
1109, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109mod2xi 15820 . 2 ((2↑16) mod 𝑁) = (68 mod 𝑁)
111 6p1e7 11194 . . 3 (6 + 1) = 7
112 eqid 2651 . . 3 16 = 16
1132, 11, 111, 112decsuc 11573 . 2 (16 + 1) = 17
11418nn0cni 11342 . . . 4 136 ∈ ℂ
115114addid2i 10262 . . 3 (0 + 136) = 136
1169nncni 11068 . . . . 5 𝑁 ∈ ℂ
117116mul02i 10263 . . . 4 (0 · 𝑁) = 0
118117oveq1i 6700 . . 3 ((0 · 𝑁) + 136) = (0 + 136)
119 6t2e12 11679 . . . . 5 (6 · 2) = 12
1202, 3, 52, 119decsuc 11573 . . . 4 ((6 · 2) + 1) = 13
1213, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25decmul1c 11625 . . 3 (68 · 2) = 136
122115, 118, 1213eqtr4i 2683 . 2 ((0 · 𝑁) + 136) = (68 · 2)
1239, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122modxp1i 15821 1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  6c6 11112  7c7 11113  8c8 11114  9c9 11115  cdc 11531   mod cmo 12708  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  1259lem2  15886  1259lem4  15888
  Copyright terms: Public domain W3C validator