Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  11gbo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 11gbo 42173
 Description: 11 is an odd Goldbach number. (Contributed by AV, 29-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
11gbo 11 ∈ GoldbachOdd

Proof of Theorem 11gbo
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 6p5e11 11792 . . 3 (6 + 5) = 11
2 6even 42130 . . . 4 6 ∈ Even
3 5odd 42129 . . . 4 5 ∈ Odd
4 epoo 42122 . . . 4 ((6 ∈ Even ∧ 5 ∈ Odd ) → (6 + 5) ∈ Odd )
52, 3, 4mp2an 710 . . 3 (6 + 5) ∈ Odd
61, 5eqeltrri 2836 . 2 11 ∈ Odd
7 3prm 15608 . . 3 3 ∈ ℙ
8 5prm 16017 . . . 4 5 ∈ ℙ
9 3odd 42127 . . . . . 6 3 ∈ Odd
109, 9, 33pm3.2i 1424 . . . . 5 (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd )
11 gbpart11 42168 . . . . 5 11 = ((3 + 3) + 5)
1210, 11pm3.2i 470 . . . 4 ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 5))
13 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝑟 = 5 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
14133anbi3d 1554 . . . . . 6 (𝑟 = 5 → ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd )))
15 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑟 = 5 → ((3 + 3) + 𝑟) = ((3 + 3) + 5))
1615eqeq2d 2770 . . . . . 6 (𝑟 = 5 → (11 = ((3 + 3) + 𝑟) ↔ 11 = ((3 + 3) + 5)))
1714, 16anbi12d 749 . . . . 5 (𝑟 = 5 → (((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 5))))
1817rspcev 3449 . . . 4 ((5 ∈ ℙ ∧ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 5))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟)))
198, 12, 18mp2an 710 . . 3 𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟))
20 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
21203anbi1d 1552 . . . . . 6 (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
22 oveq1 6820 . . . . . . . 8 (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
2322oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
2423eqeq2d 2770 . . . . . 6 (𝑝 = 3 → (11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
2521, 24anbi12d 749 . . . . 5 (𝑝 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
2625rexbidv 3190 . . . 4 (𝑝 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))))
27 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
28273anbi2d 1553 . . . . . 6 (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
29 oveq2 6821 . . . . . . . 8 (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
3029oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝑞 = 3 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 3) + 𝑟))
3130eqeq2d 2770 . . . . . 6 (𝑞 = 3 → (11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 11 = ((3 + 3) + 𝑟)))
3228, 31anbi12d 749 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟))))
3332rexbidv 3190 . . . 4 (𝑞 = 3 → (∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟))))
3426, 33rspc2ev 3463 . . 3 ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ ((3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((3 + 3) + 𝑟))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
357, 7, 19, 34mp3an 1573 . 2 𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
36 isgbo 42151 . 2 (11 ∈ GoldbachOdd ↔ (11 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 11 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
376, 35, 36mpbir2an 993 1 11 ∈ GoldbachOdd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051  (class class class)co 6813  1c1 10129   + caddc 10131  3c3 11263  5c5 11265  6c6 11266  ;cdc 11685  ℙcprime 15587   Even ceven 42047   Odd codd 42048   GoldbachOdd cgbo 42145 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-prm 15588  df-even 42049  df-odd 42050  df-gbo 42148 This theorem is referenced by:  bgoldbtbndlem1  42203
 Copyright terms: Public domain W3C validator