MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0wlkons1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0wlkons1 27294
Description: A walk of length 0 from a vertex to itself. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
0wlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0wlkons1 (𝑁𝑉 → ∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)⟨“𝑁”⟩)

Proof of Theorem 0wlkons1
StepHypRef Expression
1 s1val 13588 . . 3 (𝑁𝑉 → ⟨“𝑁”⟩ = {⟨0, 𝑁⟩})
2 0z 11600 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
32jctl 565 . . . . 5 (𝑁𝑉 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉))
4 f1sng 6340 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1𝑉)
5 f1f 6262 . . . . 5 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉)
63, 4, 53syl 18 . . . 4 (𝑁𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉)
7 id 22 . . . . 5 (⟨“𝑁”⟩ = {⟨0, 𝑁⟩} → ⟨“𝑁”⟩ = {⟨0, 𝑁⟩})
8 fzsn 12596 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
92, 8mp1i 13 . . . . 5 (⟨“𝑁”⟩ = {⟨0, 𝑁⟩} → (0...0) = {0})
107, 9feq12d 6194 . . . 4 (⟨“𝑁”⟩ = {⟨0, 𝑁⟩} → (⟨“𝑁”⟩:(0...0)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉))
116, 10syl5ibrcom 237 . . 3 (𝑁𝑉 → (⟨“𝑁”⟩ = {⟨0, 𝑁⟩} → ⟨“𝑁”⟩:(0...0)⟶𝑉))
121, 11mpd 15 . 2 (𝑁𝑉 → ⟨“𝑁”⟩:(0...0)⟶𝑉)
13 s1fv 13601 . 2 (𝑁𝑉 → (⟨“𝑁”⟩‘0) = 𝑁)
14 0wlk.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
15140wlkon 27293 . 2 ((⟨“𝑁”⟩:(0...0)⟶𝑉 ∧ (⟨“𝑁”⟩‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)⟨“𝑁”⟩)
1612, 13, 15syl2anc 696 1 (𝑁𝑉 → ∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)⟨“𝑁”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  c0 4058  {csn 4321  cop 4327   class class class wbr 4804  wf 6045  1-1wf1 6046  cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  cz 11589  ...cfz 12539  ⟨“cs1 13500  Vtxcvtx 26094  WalksOncwlkson 26724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-s1 13508  df-wlks 26726  df-wlkson 26727
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator