MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0wlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0wlk 27189
Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a walk iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
0wlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0wlk (𝐺𝑈 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0wlk
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0wlk.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2724 . . 3 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
31, 2iswlkg 26640 . 2 (𝐺𝑈 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))))
4 ral0 4184 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))
5 hash0 13271 . . . . . . . 8 (♯‘∅) = 0
65oveq2i 6776 . . . . . . 7 (0..^(♯‘∅)) = (0..^0)
7 fzo0 12607 . . . . . . 7 (0..^0) = ∅
86, 7eqtri 2746 . . . . . 6 (0..^(♯‘∅)) = ∅
98raleqi 3245 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))
104, 9mpbir 221 . . . 4 𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))
1110biantru 527 . . 3 ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉) ↔ ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
125eqcomi 2733 . . . . . 6 0 = (♯‘∅)
1312oveq2i 6776 . . . . 5 (0...0) = (0...(♯‘∅))
1413feq2i 6150 . . . 4 (𝑃:(0...0)⟶𝑉𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉)
15 wrd0 13437 . . . . 5 ∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)
1615biantrur 528 . . . 4 (𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉))
1714, 16bitri 264 . . 3 (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉))
18 df-3an 1074 . . 3 ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))) ↔ ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
1911, 17, 183bitr4ri 293 . 2 ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))) ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
203, 19syl6bb 276 1 (𝐺𝑈 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  if-wif 1050  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wss 3680  c0 4023  {csn 4285  {cpr 4287   class class class wbr 4760  dom cdm 5218  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052  ...cfz 12440  ..^cfzo 12580  chash 13232  Word cword 13398  Vtxcvtx 25994  iEdgciedg 25995  Walkscwlks 26623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-hash 13233  df-word 13406  df-wlks 26626
This theorem is referenced by:  is0wlk  27190  0wlkon  27193  0trl  27195  0clwlk  27203
  Copyright terms: Public domain W3C validator