Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ringnnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ringnnzr 19471
 Description: A ring is a zero ring iff it is not a nonzero ring. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
0ringnnzr (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))

Proof of Theorem 0ringnnzr
StepHypRef Expression
1 1re 10231 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
21ltnri 10338 . . . . . . 7 ¬ 1 < 1
3 breq2 4808 . . . . . . 7 ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 → (1 < (♯‘(Base‘𝑅)) ↔ 1 < 1))
42, 3mtbiri 316 . . . . . 6 ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 → ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
54adantl 473 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
65intnand 1000 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → ¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
76ex 449 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 → ¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))))
8 ianor 510 . . . . 5 (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) ↔ (¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
9 pm2.21 120 . . . . . 6 𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
10 fvex 6362 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) ∈ V
11 hashxrcl 13340 . . . . . . . . . 10 ((Base‘𝑅) ∈ V → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℝ*)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℝ*
131rexri 10289 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
14 xrlenlt 10295 . . . . . . . . 9 (((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
1512, 13, 14mp2an 710 . . . . . . . 8 ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
1615bicomi 214 . . . . . . 7 (¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)) ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1)
17 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1)
1810a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (Base‘𝑅) ∈ V)
19 1nn0 11500 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → 1 ∈ ℕ0)
21 hashbnd 13317 . . . . . . . . . . . . 13 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
2218, 20, 17, 21syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
23 hashcl 13339 . . . . . . . . . . . . 13 ((Base‘𝑅) ∈ Fin → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
24 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0) → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
2510a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → (Base‘𝑅) ∈ V)
26 hasheq0 13346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 0 ↔ (Base‘𝑅) = ∅))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 0 ↔ (Base‘𝑅) = ∅))
2827biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 0 → (Base‘𝑅) = ∅))
2928necon3d 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → ((Base‘𝑅) ≠ ∅ → (♯‘(Base‘𝑅)) ≠ 0))
3029impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0) → (♯‘(Base‘𝑅)) ≠ 0)
31 elnnne0 11498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ ↔ ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≠ 0))
3224, 30, 31sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0) → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ)
3332ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Base‘𝑅) ≠ ∅ → ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3534com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3623, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((Base‘𝑅) ∈ Fin → (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3722, 36mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ)
38 nnle1eq1 11240 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ → ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
4017, 39mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
4140ex 449 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ≠ ∅ → ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
42 ringgrp 18752 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
43 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4443grpbn0 17652 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Grp → (Base‘𝑅) ≠ ∅)
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ≠ ∅)
4641, 45syl11 33 . . . . . . 7 ((♯‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
4716, 46sylbi 207 . . . . . 6 (¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
489, 47jaoi 393 . . . . 5 ((¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) → (𝑅 ∈ Ring → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
498, 48sylbi 207 . . . 4 (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) → (𝑅 ∈ Ring → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
5049com12 32 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
517, 50impbid 202 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))))
5243isnzr2hash 19466 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
5352bicomi 214 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) ↔ 𝑅 ∈ NzRing)
5453notbii 309 . 2 (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))) ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
5551, 54syl6bb 276 1 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340  ∅c0 4058   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  Fincfn 8121  0cc0 10128  1c1 10129  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267  ℕcn 11212  ℕ0cn0 11484  ♯chash 13311  Basecbs 16059  Grpcgrp 17623  Ringcrg 18747  NzRingcnzr 19459 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-hash 13312  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-nzr 19460 This theorem is referenced by:  rng1nnzr  19476  lmod0rng  42378  0ringdif  42380  0ring1eq0  42382  lindszr  42768
 Copyright terms: Public domain W3C validator