MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ringnnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ringnnzr 19209
Description: A ring is a zero ring iff it is not a nonzero ring. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
0ringnnzr (𝑅 ∈ Ring → ((#‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))

Proof of Theorem 0ringnnzr
StepHypRef Expression
1 1re 9999 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
21ltnri 10106 . . . . . . 7 ¬ 1 < 1
3 breq2 4627 . . . . . . 7 ((#‘(Base‘𝑅)) = 1 → (1 < (#‘(Base‘𝑅)) ↔ 1 < 1))
42, 3mtbiri 317 . . . . . 6 ((#‘(Base‘𝑅)) = 1 → ¬ 1 < (#‘(Base‘𝑅)))
54adantl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#‘(Base‘𝑅)) = 1) → ¬ 1 < (#‘(Base‘𝑅)))
65intnand 961 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#‘(Base‘𝑅)) = 1) → ¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅))))
76ex 450 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((#‘(Base‘𝑅)) = 1 → ¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅)))))
8 ianor 509 . . . . 5 (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅))) ↔ (¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 < (#‘(Base‘𝑅))))
9 pm2.21 120 . . . . . 6 𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring → (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
10 fvex 6168 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) ∈ V
11 hashxrcl 13104 . . . . . . . . . 10 ((Base‘𝑅) ∈ V → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℝ*)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℝ*
131rexri 10057 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
14 xrlenlt 10063 . . . . . . . . 9 (((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (#‘(Base‘𝑅))))
1512, 13, 14mp2an 707 . . . . . . . 8 ((#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (#‘(Base‘𝑅)))
1615bicomi 214 . . . . . . 7 (¬ 1 < (#‘(Base‘𝑅)) ↔ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1)
17 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1)
1810a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (Base‘𝑅) ∈ V)
19 1nn0 11268 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → 1 ∈ ℕ0)
21 hashbnd 13079 . . . . . . . . . . . . 13 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
2218, 20, 17, 21syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
23 hashcl 13103 . . . . . . . . . . . . 13 ((Base‘𝑅) ∈ Fin → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
24 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0) → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
2510a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → (Base‘𝑅) ∈ V)
26 hasheq0 13110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((#‘(Base‘𝑅)) = 0 ↔ (Base‘𝑅) = ∅))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → ((#‘(Base‘𝑅)) = 0 ↔ (Base‘𝑅) = ∅))
2827biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → ((#‘(Base‘𝑅)) = 0 → (Base‘𝑅) = ∅))
2928necon3d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → ((Base‘𝑅) ≠ ∅ → (#‘(Base‘𝑅)) ≠ 0))
3029impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0) → (#‘(Base‘𝑅)) ≠ 0)
31 elnnne0 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ ↔ ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≠ 0))
3224, 30, 31sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0) → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ)
3332ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Base‘𝑅) ≠ ∅ → ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3534com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0 → (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3623, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((Base‘𝑅) ∈ Fin → (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ))
3722, 36mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ)
38 nnle1eq1 11008 . . . . . . . . . . 11 ((#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ → ((#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → ((#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 ↔ (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
4017, 39mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((Base‘𝑅) ≠ ∅ ∧ (#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1) → (#‘(Base‘𝑅)) = 1)
4140ex 450 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ≠ ∅ → ((#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 → (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
42 ringgrp 18492 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
43 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4443grpbn0 17391 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Grp → (Base‘𝑅) ≠ ∅)
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ≠ ∅)
4641, 45syl11 33 . . . . . . 7 ((#‘(Base‘𝑅)) ≤ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
4716, 46sylbi 207 . . . . . 6 (¬ 1 < (#‘(Base‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring → (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
489, 47jaoi 394 . . . . 5 ((¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 < (#‘(Base‘𝑅))) → (𝑅 ∈ Ring → (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
498, 48sylbi 207 . . . 4 (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅))) → (𝑅 ∈ Ring → (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
5049com12 32 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅))) → (#‘(Base‘𝑅)) = 1))
517, 50impbid 202 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((#‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅)))))
5243isnzr2hash 19204 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅))))
5352bicomi 214 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅))) ↔ 𝑅 ∈ NzRing)
5453notbii 310 . 2 (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘𝑅))) ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
5551, 54syl6bb 276 1 (𝑅 ∈ Ring → ((#‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3190  c0 3897   class class class wbr 4623  cfv 5857  Fincfn 7915  0cc0 9896  1c1 9897  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035  cn 10980  0cn0 11252  #chash 13073  Basecbs 15800  Grpcgrp 17362  Ringcrg 18487  NzRingcnzr 19197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-hash 13074  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-nzr 19198
This theorem is referenced by:  rng1nnzr  19214  lmod0rng  41186  0ringdif  41188  0ring1eq0  41190  lindszr  41576
  Copyright terms: Public domain W3C validator