Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0ringdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ringdif 42388
 Description: A zero ring is a ring which is not a nonzero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
0ringdif.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringdif.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
0ringdif (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))

Proof of Theorem 0ringdif
StepHypRef Expression
1 eldif 3731 . 2 (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
2 0ringdif.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
32a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘𝑅))
43fveq2d 6336 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (♯‘𝐵) = (♯‘(Base‘𝑅)))
54eqeq1d 2772 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
6 0ringdif.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
72, 60ring 19484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
87ex 397 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 → 𝐵 = { 0 }))
9 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = (♯‘{ 0 }))
10 fvex 6342 . . . . . . . 8 (0g𝑅) ∈ V
116, 10eqeltri 2845 . . . . . . 7 0 ∈ V
12 hashsng 13360 . . . . . . 7 ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (♯‘{ 0 }) = 1
149, 13syl6eq 2820 . . . . 5 (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = 1)
158, 14impbid1 215 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = { 0 }))
16 0ringnnzr 19483 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
175, 15, 163bitr3rd 299 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (¬ 𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝐵 = { 0 }))
1817pm5.32i 556 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))
191, 18bitri 264 1 (𝑅 ∈ (Ring ∖ NzRing) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 = { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  Vcvv 3349   ∖ cdif 3718  {csn 4314  ‘cfv 6031  1c1 10138  ♯chash 13320  Basecbs 16063  0gc0g 16307  Ringcrg 18754  NzRingcnzr 19471 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-hash 13321  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-nzr 19472 This theorem is referenced by:  0ringbas  42389
 Copyright terms: Public domain W3C validator