Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ring01eqbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ring01eqbi 19396
 Description: In a unital ring the zero equals the unity iff the ring is the zero ring. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
0ring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0 0 = (0g𝑅)
0ring01eq.1 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
0ring01eqbi (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1𝑜1 = 0 ))

Proof of Theorem 0ring01eqbi
StepHypRef Expression
1 0ring.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 fvex 6314 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
31, 2eqeltri 2799 . . 3 𝐵 ∈ V
4 hashen1 13273 . . 3 (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1𝑜))
53, 4mp1i 13 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1𝑜))
6 0ring.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
7 0ring01eq.1 . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
81, 6, 70ring01eq 19394 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 0 = 1 )
98eqcomd 2730 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 1 = 0 )
109ex 449 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 → 1 = 0 ))
11 eqcom 2731 . . . 4 ( 1 = 00 = 1 )
121, 6, 701eq0ring 19395 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })
13 fveq2 6304 . . . . . . 7 (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = (♯‘{ 0 }))
14 fvex 6314 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
156, 14eqeltri 2799 . . . . . . . 8 0 ∈ V
16 hashsng 13272 . . . . . . . 8 ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
1715, 16mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐵 = { 0 } → (♯‘{ 0 }) = 1)
1813, 17eqtrd 2758 . . . . . 6 (𝐵 = { 0 } → (♯‘𝐵) = 1)
1912, 18syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (♯‘𝐵) = 1)
2019ex 449 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (♯‘𝐵) = 1))
2111, 20syl5bi 232 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ( 1 = 0 → (♯‘𝐵) = 1))
2210, 21impbid 202 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ 1 = 0 ))
235, 22bitr3d 270 1 (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ≈ 1𝑜1 = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  Vcvv 3304  {csn 4285   class class class wbr 4760  ‘cfv 6001  1𝑜c1o 7673   ≈ cen 8069  1c1 10050  ♯chash 13232  Basecbs 15980  0gc0g 16223  1rcur 18622  Ringcrg 18668 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-hash 13233  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-plusg 16077  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator