MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0r 10124
Description: The constant 0R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0r 0RR

Proof of Theorem 0r
StepHypRef Expression
1 1pr 10060 . . . 4 1PP
2 opelxpi 5300 . . . 4 ((1PP ∧ 1PP) → ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P))
31, 1, 2mp2an 673 . . 3 ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P)
4 enrex 10111 . . . 4 ~R ∈ V
54ecelqsi 7976 . . 3 (⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
63, 5ax-mp 5 . 2 [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
7 df-0r 10105 . 2 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
8 df-nr 10101 . 2 R = ((P × P) / ~R )
96, 7, 83eltr4i 2866 1 0RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2148  cop 4332   × cxp 5261  [cec 7915   / cqs 7916  Pcnp 9904  1Pc1p 9905   ~R cer 9909  Rcnr 9910  0Rc0r 9911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-inf2 8723
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-oadd 7738  df-omul 7739  df-er 7917  df-ec 7919  df-qs 7923  df-ni 9917  df-pli 9918  df-mi 9919  df-lti 9920  df-plpq 9953  df-mpq 9954  df-ltpq 9955  df-enq 9956  df-nq 9957  df-erq 9958  df-plq 9959  df-mq 9960  df-1nq 9961  df-rq 9962  df-ltnq 9963  df-np 10026  df-1p 10027  df-enr 10100  df-nr 10101  df-0r 10105
This theorem is referenced by:  sqgt0sr  10150  opelreal  10174  elreal  10175  elreal2  10176  eqresr  10181  addresr  10182  mulresr  10183  axresscn  10192  axicn  10194  axi2m1  10203  axcnre  10208
  Copyright terms: Public domain W3C validator