MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0pth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0pth 27298
Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a path iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 19-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
0pth.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0pth (𝐺𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0pth
StepHypRef Expression
1 ispth 26850 . . 3 (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅))
21a1i 11 . 2 (𝐺𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
3 3anass 1081 . . . 4 ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
43a1i 11 . . 3 (𝐺𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅))))
5 funcnv0 6116 . . . . . 6 Fun
6 hash0 13370 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘∅) = 0
7 0le1 10763 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
86, 7eqbrtri 4825 . . . . . . . . . . 11 (♯‘∅) ≤ 1
9 1z 11619 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
10 0z 11600 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
116, 10eqeltri 2835 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘∅) ∈ ℤ
12 fzon 12703 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘∅) ∈ ℤ) → ((♯‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘∅)) = ∅))
139, 11, 12mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(♯‘∅)) = ∅)
148, 13mpbi 220 . . . . . . . . . 10 (1..^(♯‘∅)) = ∅
1514reseq2i 5548 . . . . . . . . 9 (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = (𝑃 ↾ ∅)
16 res0 5555 . . . . . . . . 9 (𝑃 ↾ ∅) = ∅
1715, 16eqtri 2782 . . . . . . . 8 (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) = ∅
1817cnveqi 5452 . . . . . . 7 (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) =
1918funeqi 6070 . . . . . 6 (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ↔ Fun ∅)
205, 19mpbir 221 . . . . 5 Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅)))
2114imaeq2i 5622 . . . . . . . 8 (𝑃 “ (1..^(♯‘∅))) = (𝑃 “ ∅)
22 ima0 5639 . . . . . . . 8 (𝑃 “ ∅) = ∅
2321, 22eqtri 2782 . . . . . . 7 (𝑃 “ (1..^(♯‘∅))) = ∅
2423ineq2i 3954 . . . . . 6 ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ ∅)
25 in0 4111 . . . . . 6 ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ ∅) = ∅
2624, 25eqtri 2782 . . . . 5 ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅
2720, 26pm3.2i 470 . . . 4 (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)
2827biantru 527 . . 3 (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅)))
294, 28syl6bbr 278 . 2 (𝐺𝑊 → ((∅(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘∅)))) = ∅) ↔ ∅(Trails‘𝐺)𝑃))
30 0pth.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31300trl 27295 . 2 (𝐺𝑊 → (∅(Trails‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
322, 29, 313bitrd 294 1 (𝐺𝑊 → (∅(Paths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cin 3714  c0 4058  {cpr 4323   class class class wbr 4804  ccnv 5265  cres 5268  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149  cle 10287  cz 11589  ...cfz 12539  ..^cfzo 12679  chash 13331  Vtxcvtx 26094  Trailsctrls 26818  Pathscpths 26839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-wlks 26726  df-trls 26820  df-pths 26843
This theorem is referenced by:  0pthon  27300  0cycl  27307
  Copyright terms: Public domain W3C validator