Theorem 0pss 4144

Description: The null set is a proper subset of any nonempty set. (Contributed by NM, 27-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0pss	⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem 0pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4103	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		df-pss 3719	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≠ 𝐴))
3	1, 2	mpbiran 991	. 2 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ ∅ ≠ 𝐴)
4		necom 2973	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
5	3, 4	bitri 264	1 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 196   ≠ wne 2920   ⊆ wss 3703   ⊊ wpss 3704  ∅c0 4046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-v 3330  df-dif 3706  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047

This theorem is referenced by:  php  8297  zornn0g  9490  prn0  9974  genpn0  9988  nqpr  9999  ltexprlem5  10025  reclem2pr  10033  suplem1pr  10037  alexsubALTlem4  22026  bj-2upln0  33288  bj-2upln1upl  33289  0pssin  38535