MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0opn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0opn 20911
Description: The empty set is an open subset of a topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
0opn (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Proof of Theorem 0opn
StepHypRef Expression
1 uni0 4617 . 2 ∅ = ∅
2 0ss 4115 . . 3 ∅ ⊆ 𝐽
3 uniopn 20904 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → ∅ ∈ 𝐽)
42, 3mpan2 709 . 2 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
51, 4syl5eqelr 2844 1 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  wss 3715  c0 4058   cuni 4588  Topctop 20900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-v 3342  df-dif 3718  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-pw 4304  df-sn 4322  df-uni 4589  df-top 20901
This theorem is referenced by:  0ntop  20912  topgele  20936  tgclb  20976  0top  20989  en1top  20990  en2top  20991  topcld  21041  clsval2  21056  ntr0  21087  opnnei  21126  0nei  21134  restrcl  21163  rest0  21175  ordtrest2lem  21209  iocpnfordt  21221  icomnfordt  21222  cnindis  21298  isconn2  21419  kqtop  21750  mopn0  22504  locfinref  30217  ordtrest2NEWlem  30277  sxbrsigalem3  30643  cnambfre  33771
  Copyright terms: Public domain W3C validator