Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0oo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0oo 27974
 Description: The zero operator is an operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0oo.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
0oo.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
0oo.0 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
Assertion
Ref Expression
0oo ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋𝑌)

Proof of Theorem 0oo
StepHypRef Expression
1 fvex 6363 . . . . 5 (0vec𝑊) ∈ V
21fconst 6252 . . . 4 (𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋⟶{(0vec𝑊)}
3 0oo.2 . . . . . 6 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
4 eqid 2760 . . . . . 6 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
53, 4nvzcl 27819 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec𝑊) ∈ 𝑌)
65snssd 4485 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmCVec → {(0vec𝑊)} ⊆ 𝑌)
7 fss 6217 . . . 4 (((𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋⟶{(0vec𝑊)} ∧ {(0vec𝑊)} ⊆ 𝑌) → (𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋𝑌)
82, 6, 7sylancr 698 . . 3 (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋𝑌)
98adantl 473 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋𝑌)
10 0oo.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11 0oo.0 . . . 4 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
1210, 4, 110ofval 27972 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 = (𝑋 × {(0vec𝑊)}))
1312feq1d 6191 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑍:𝑋𝑌 ↔ (𝑋 × {(0vec𝑊)}):𝑋𝑌))
149, 13mpbird 247 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:𝑋𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  {csn 4321   × cxp 5264  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  NrmCVeccnv 27769  BaseSetcba 27771  0veccn0v 27773   0op c0o 27928 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-grpo 27677  df-gid 27678  df-ablo 27729  df-vc 27744  df-nv 27777  df-va 27780  df-ba 27781  df-sm 27782  df-0v 27783  df-nmcv 27785  df-0o 27932 This theorem is referenced by:  0lno  27975  nmoo0  27976  nmlno0lem  27978
 Copyright terms: Public domain W3C validator