Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0nodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nodd 42135
 Description: 0 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
oddinmgm.e 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
Assertion
Ref Expression
0nodd 0 ∉ 𝑂
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 0nodd
StepHypRef Expression
1 halfnz 11493 . . . . . . . . . . 11 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2 eleq1 2718 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) = -𝑥 → ((1 / 2) ∈ ℤ ↔ -𝑥 ∈ ℤ))
31, 2mtbii 315 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) = -𝑥 → ¬ -𝑥 ∈ ℤ)
4 znegcl 11450 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
53, 4nsyl3 133 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = -𝑥)
6 eqcom 2658 . . . . . . . . 9 (-𝑥 = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = -𝑥)
75, 6sylnibr 318 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -𝑥 = (1 / 2))
8 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
9 2cn 11129 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
10 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
11 divneg 10757 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
1211eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (-1 / 2) = -(1 / 2))
138, 9, 10, 12mp3an 1464 . . . . . . . . . . 11 (-1 / 2) = -(1 / 2)
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → (-1 / 2) = -(1 / 2))
1514eqeq1d 2653 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -(1 / 2) = 𝑥))
16 halfcn 11285 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
18 zcn 11420 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
1917, 18negcon1d 10424 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → (-(1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
2015, 19bitrd 268 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
217, 20mtbird 314 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (-1 / 2) = 𝑥)
22 neg1cn 11162 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
2322a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
24 2cnd 11131 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
2510a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
2623, 18, 24, 25divmul2d 10872 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
2721, 26mtbid 313 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -1 = (2 · 𝑥))
28 eqcom 2658 . . . . . . . 8 (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0)
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
30 0cnd 10071 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
31 1cnd 10094 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3224, 18mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
33 subadd2 10323 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
3433bicomd 213 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
3530, 31, 32, 34syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
36 df-neg 10307 . . . . . . . . . 10 -1 = (0 − 1)
3736eqcomi 2660 . . . . . . . . 9 (0 − 1) = -1
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (0 − 1) = -1)
3938eqeq1d 2653 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
4029, 35, 393bitrd 294 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
4127, 40mtbird 314 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
4241nrex 3029 . . . 4 ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)
4342intnan 980 . . 3 ¬ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
44 eqeq1 2655 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
4544rexbidv 3081 . . . 4 (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
46 oddinmgm.e . . . 4 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
4745, 46elrab2 3399 . . 3 (0 ∈ 𝑂 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
4843, 47mtbir 312 . 2 ¬ 0 ∈ 𝑂
4948nelir 2929 1 0 ∉ 𝑂
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∉ wnel 2926  ∃wrex 2942  {crab 2945  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   − cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  ℤcz 11415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator