MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nelfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nelfz1 12566
Description: 0 is not an element of a finite interval of integers starting at 1. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
0nelfz1 0 ∉ (1...𝑁)

Proof of Theorem 0nelfz1
StepHypRef Expression
1 0lt1 10751 . . . . 5 0 < 1
2 0re 10241 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
3 1re 10240 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
42, 3ltnlei 10359 . . . . 5 (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
51, 4mpbi 220 . . . 4 ¬ 1 ≤ 0
65intnanr 997 . . 3 ¬ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)
76intnan 996 . 2 ¬ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁))
8 df-nel 3046 . . 3 (0 ∉ (1...𝑁) ↔ ¬ 0 ∈ (1...𝑁))
9 elfz2 12539 . . 3 (0 ∈ (1...𝑁) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
108, 9xchbinx 323 . 2 (0 ∉ (1...𝑁) ↔ ¬ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
117, 10mpbir 221 1 0 ∉ (1...𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 382  w3a 1070  wcel 2144  wnel 3045   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138   < clt 10275  cle 10276  cz 11578  ...cfz 12532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-z 11579  df-fz 12533
This theorem is referenced by:  lcmflefac  15568  prmodvdslcmf  15957  prmolelcmf  15958  prmgaplcmlem2  15962  prmgaplcm  15970
  Copyright terms: Public domain W3C validator