MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nelfb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nelfb 21857
Description: No filter base contains the empty set. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
0nelfb (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)

Proof of Theorem 0nelfb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6383 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom fBas)
2 isfbas 21855 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom fBas → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
43ibi 256 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
5 simpr2 1236 . . 3 ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) → ∅ ∉ 𝐹)
64, 5syl 17 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ∅ ∉ 𝐹)
7 df-nel 3037 . 2 (∅ ∉ 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
86, 7sylib 208 1 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2140  wne 2933  wnel 3036  wral 3051  cin 3715  wss 3716  c0 4059  𝒫 cpw 4303  dom cdm 5267  cfv 6050  fBascfbas 19957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fv 6058  df-fbas 19966
This theorem is referenced by:  fbdmn0  21860  fbncp  21865  fbun  21866  fbfinnfr  21867  0nelfil  21875  fsubbas  21893  fbasfip  21894  fgcl  21904  fbasrn  21910  uzfbas  21924  ucnextcn  22330
  Copyright terms: Public domain W3C validator