Theorem 0lt1sr 9954

Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1sr	⊢ 0R <R 1R

Proof of Theorem 0lt1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 9875	. . . . . 6 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 9878	. . . . . 6 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		ltaddpr 9894	. . . . 5 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P))
5	3, 1, 4	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P)
6		addcompr 9881	. . . 4 ⊢ (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P)
7	5, 6	breqtrri 4712	. . 3 ⊢ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))
8		ltsrpr 9936	. . 3 ⊢ ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P)))
9	7, 8	mpbir 221	. 2 ⊢ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
10		df-0r 9920	. 2 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
11		df-1r 9921	. 2 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
12	9, 10, 11	3brtr4i 4715	1 ⊢ 0R <R 1R

Syntax hints:   ∈ wcel 2030  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  [cec 7785  Pcnp 9719  1_Pc1p 9720   +_P cpp 9721  <_P cltp 9723   ~_R cer 9724  0_Rc0r 9726  1_Rc1r 9727   <_R cltr 9731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-ni 9732  df-pli 9733  df-mi 9734  df-lti 9735  df-plpq 9768  df-mpq 9769  df-ltpq 9770  df-enq 9771  df-nq 9772  df-erq 9773  df-plq 9774  df-mq 9775  df-1nq 9776  df-rq 9777  df-ltnq 9778  df-np 9841  df-1p 9842  df-plp 9843  df-ltp 9845  df-enr 9915  df-nr 9916  df-ltr 9919  df-0r 9920  df-1r 9921

This theorem is referenced by:  1ne0sr  9955  supsrlem  9970