HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0lnfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0lnfn 29178
Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0lnfn ( ℋ × {0}) ∈ LinFn

Proof of Theorem 0lnfn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 10233 . . 3 0 ∈ ℂ
21fconst6 6235 . 2 ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ
3 hvmulcl 28204 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
4 hvaddcl 28203 . . . . . . 7 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
53, 4sylan 561 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
6 c0ex 10235 . . . . . . 7 0 ∈ V
76fvconst2 6612 . . . . . 6 (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = 0)
85, 7syl 17 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = 0)
96fvconst2 6612 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑦) = 0)
109oveq2d 6808 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) = (𝑥 · 0))
11 mul01 10416 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 0) = 0)
1210, 11sylan9eqr 2826 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) = 0)
136fvconst2 6612 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑧) = 0)
1412, 13oveqan12d 6811 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)) = (0 + 0))
15 00id 10412 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
1614, 15syl6eq 2820 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)) = 0)
178, 16eqtr4d 2807 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)))
18173impa 1099 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)))
1918rgen3 3124 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧))
20 ellnfn 29076 . 2 (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ↔ (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧))))
212, 19, 20mpbir2an 682 1 ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  {csn 4314   × cxp 5247  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  0cc0 10137   + caddc 10140   · cmul 10142  chil 28110   + cva 28111   · csm 28112  LinFnclf 28145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-hilex 28190  ax-hfvadd 28191  ax-hfvmul 28196
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-ltxr 10280  df-lnfn 29041
This theorem is referenced by:  nmfn0  29180  lnfn0  29240  lnfnmul  29241  nmbdfnlb  29243  nmcfnex  29246  nmcfnlb  29247  lnfncon  29249  riesz4  29257  riesz1  29258
  Copyright terms: Public domain W3C validator