MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0le1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0le1 10589
Description: 0 is less than or equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
0le1 0 ≤ 1

Proof of Theorem 0le1
StepHypRef Expression
1 0re 10078 . 2 0 ∈ ℝ
2 1re 10077 . 2 1 ∈ ℝ
3 0lt1 10588 . 2 0 < 1
41, 2, 3ltleii 10198 1 0 ≤ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 4685  0cc0 9974  1c1 9975  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  lemulge11  10923  0le2  11149  1eluzge0  11770  x2times  12167  0elunit  12328  1elunit  12329  fldiv4p1lem1div2  12676  1mod  12742  expge0  12936  expge1  12937  faclbnd3  13119  faclbnd4lem1  13120  hashsnle1  13243  hashgt12el  13248  hashgt12el2  13249  sqrlem1  14027  sqrt1  14056  sqrt2gt1lt2  14059  sqrtm1  14060  abs1  14081  rlimno1  14428  harmonic  14635  georeclim  14647  geoisumr  14653  geoihalfsum  14658  fprodge0  14768  fprodge1  14770  ege2le3  14864  sinbnd  14954  cosbnd  14955  cos2bnd  14962  nn0oddm1d2  15148  flodddiv4  15184  sqnprm  15461  zsqrtelqelz  15513  modprm0  15557  pythagtriplem3  15570  prmolefac  15797  abvneg  18882  gzrngunitlem  19859  rge0srg  19865  dscmet  22424  nmoid  22593  iccpnfcnv  22790  iccpnfhmeo  22791  xrhmeo  22792  ncvs1  23003  vitalilem4  23425  vitalilem5  23426  aalioulem3  24134  dvradcnv  24220  abelth2  24241  tanregt0  24330  efif1olem3  24335  dvlog2lem  24443  cxpge0  24474  cxpaddlelem  24537  bndatandm  24701  atans2  24703  cxp2lim  24748  scvxcvx  24757  logdiflbnd  24766  fsumharmonic  24783  lgamgulmlem2  24801  lgamgulmlem3  24802  lgamgulmlem5  24804  mule1  24919  sqff1o  24953  ppiub  24974  dchrabs2  25032  zabsle1  25066  lgslem2  25068  lgsfcl2  25073  lgsdir2lem1  25095  lgsne0  25105  lgsdinn0  25115  m1lgs  25158  chtppilim  25209  rpvmasumlem  25221  dchrisum0flblem1  25242  dchrisum0flblem2  25243  mulog2sumlem2  25269  pntlemb  25331  ostth3  25372  axcontlem2  25890  clwwlknon1le1  27076  0ewlk  27092  0pth  27103  nv1  27658  nmosetn0  27748  nmoo0  27774  norm1  28234  nmopsetn0  28852  nmfnsetn0  28865  nmopge0  28898  nmfnge0  28914  nmop0  28973  nmfn0  28974  nmcexi  29013  hstle1  29213  strlem1  29237  strlem5  29242  jplem1  29255  nn0sqeq1  29641  xrsmulgzz  29806  xrge0slmod  29972  unitssxrge0  30074  xrge0iifcnv  30107  xrge0iifiso  30109  xrge0iifhom  30111  nexple  30199  ddemeas  30427  ballotlem2  30678  ballotlem4  30688  ballotlemic  30696  ballotlem1c  30697  signswch  30766  signsvf0  30785  itgexpif  30812  cvmliftlem13  31404  knoppndvlem11  32638  knoppndvlem18  32645  poimirlem23  33562  dvasin  33626  areacirclem1  33630  cntotbnd  33725  pell1qrge1  37751  pell1qrgaplem  37754  pell14qrgapw  37757  pellqrex  37760  pellfundgt1  37764  rmspecnonsq  37789  rmspecfund  37791  rmspecpos  37798  monotoddzzfi  37824  jm2.23  37880  limsup10ex  40323  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  stoweidlem1  40536  stoweidlem11  40546  stoweidlem18  40553  stoweidlem34  40569  stoweidlem38  40573  stoweidlem55  40590  wallispi2lem1  40606  stirlinglem1  40609  stirlinglem11  40619  stirlinglem13  40621  fourierdlem11  40653  fourierdlem15  40657  fourierdlem39  40681  fourierdlem41  40683  fourierdlem48  40689  fourierdlem79  40720  ovn0lem  41100  hoidmvlelem2  41131  hoidmvlelem4  41133  smfmullem4  41322  iccpartgt  41688  flsqrt  41833  tgblthelfgott  42028  tgoldbach  42030  tgblthelfgottOLD  42034  tgoldbachOLD  42037  nn0eo  42647
  Copyright terms: Public domain W3C validator