HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0hmop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0hmop 29183
Description: The identically zero function is a Hermitian operator. (Contributed by NM, 8-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0hmop 0hop ∈ HrmOp

Proof of Theorem 0hmop
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ho0f 28951 . 2 0hop : ℋ⟶ ℋ
2 ho0val 28950 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℋ → ( 0hop𝑦) = 0)
32oveq2d 6807 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih ( 0hop𝑦)) = (𝑥 ·ih 0))
4 hi02 28295 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 0) = 0)
53, 4sylan9eqr 2825 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ( 0hop𝑦)) = 0)
6 ho0val 28950 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop𝑥) = 0)
76oveq1d 6806 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (( 0hop𝑥) ·ih 𝑦) = (0 ·ih 𝑦))
8 hi01 28294 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝑦) = 0)
97, 8sylan9eq 2823 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (( 0hop𝑥) ·ih 𝑦) = 0)
105, 9eqtr4d 2806 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ( 0hop𝑦)) = (( 0hop𝑥) ·ih 𝑦))
1110rgen2a 3124 . 2 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ( 0hop𝑦)) = (( 0hop𝑥) ·ih 𝑦)
12 elhmop 29073 . 2 ( 0hop ∈ HrmOp ↔ ( 0hop : ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ( 0hop𝑦)) = (( 0hop𝑥) ·ih 𝑦)))
131, 11, 12mpbir2an 990 1 0hop ∈ HrmOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  wral 3059  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6791  0cc0 10136  chil 28117   ·ih csp 28120  0c0v 28122   0hop ch0o 28141  HrmOpcho 28148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cc 9457  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216  ax-hilex 28197  ax-hfvadd 28198  ax-hvcom 28199  ax-hvass 28200  ax-hv0cl 28201  ax-hvaddid 28202  ax-hfvmul 28203  ax-hvmulid 28204  ax-hvmulass 28205  ax-hvdistr1 28206  ax-hvdistr2 28207  ax-hvmul0 28208  ax-hfi 28277  ax-his1 28280  ax-his2 28281  ax-his3 28282  ax-his4 28283  ax-hcompl 28400
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-fal 1635  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-iin 4654  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-se 5208  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-omul 7716  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-acn 8966  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13325  df-cj 14050  df-re 14051  df-im 14052  df-sqrt 14186  df-abs 14187  df-clim 14430  df-rlim 14431  df-sum 14628  df-struct 16072  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-sets 16077  df-ress 16078  df-plusg 16168  df-mulr 16169  df-starv 16170  df-sca 16171  df-vsca 16172  df-ip 16173  df-tset 16174  df-ple 16175  df-ds 16178  df-unif 16179  df-hom 16180  df-cco 16181  df-rest 16297  df-topn 16298  df-0g 16316  df-gsum 16317  df-topgen 16318  df-pt 16319  df-prds 16322  df-xrs 16376  df-qtop 16381  df-imas 16382  df-xps 16384  df-mre 16460  df-mrc 16461  df-acs 16463  df-mgm 17456  df-sgrp 17498  df-mnd 17509  df-submnd 17550  df-mulg 17755  df-cntz 17963  df-cmn 18408  df-psmet 19959  df-xmet 19960  df-met 19961  df-bl 19962  df-mopn 19963  df-fbas 19964  df-fg 19965  df-cnfld 19968  df-top 20925  df-topon 20942  df-topsp 20964  df-bases 20977  df-cld 21050  df-ntr 21051  df-cls 21052  df-nei 21129  df-cn 21258  df-cnp 21259  df-lm 21260  df-haus 21346  df-tx 21592  df-hmeo 21785  df-fil 21876  df-fm 21968  df-flim 21969  df-flf 21970  df-xms 22351  df-ms 22352  df-tms 22353  df-cfil 23278  df-cau 23279  df-cmet 23280  df-grpo 27688  df-gid 27689  df-ginv 27690  df-gdiv 27691  df-ablo 27740  df-vc 27755  df-nv 27788  df-va 27791  df-ba 27792  df-sm 27793  df-0v 27794  df-vs 27795  df-nmcv 27796  df-ims 27797  df-dip 27897  df-ssp 27918  df-ph 28009  df-cbn 28060  df-hnorm 28166  df-hba 28167  df-hvsub 28169  df-hlim 28170  df-hcau 28171  df-sh 28405  df-ch 28419  df-oc 28450  df-ch0 28451  df-shs 28508  df-pjh 28595  df-h0op 28948  df-hmop 29044
This theorem is referenced by:  0lnop  29184  leop3  29325  leoppos  29326  leoprf2  29327  0leop  29330  idleop  29331  opsqrlem2  29341  opsqrlem4  29343  opsqrlem5  29344
  Copyright terms: Public domain W3C validator