Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0hmop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0hmop 29183
 Description: The identically zero function is a Hermitian operator. (Contributed by NM, 8-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0hmop 0hop ∈ HrmOp

Proof of Theorem 0hmop
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ho0f 28951 . 2 0hop : ℋ⟶ ℋ
2 ho0val 28950 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℋ → ( 0hop𝑦) = 0)
32oveq2d 6807 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih ( 0hop𝑦)) = (𝑥 ·ih 0))
4 hi02 28295 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih 0) = 0)
53, 4sylan9eqr 2825 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ( 0hop𝑦)) = 0)
6 ho0val 28950 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop𝑥) = 0)
76oveq1d 6806 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (( 0hop𝑥) ·ih 𝑦) = (0 ·ih 𝑦))
8 hi01 28294 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝑦) = 0)
97, 8sylan9eq 2823 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (( 0hop𝑥) ·ih 𝑦) = 0)
105, 9eqtr4d 2806 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ( 0hop𝑦)) = (( 0hop𝑥) ·ih 𝑦))
1110rgen2a 3124 . 2 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ( 0hop𝑦)) = (( 0hop𝑥) ·ih 𝑦)
12 elhmop 29073 . 2 ( 0hop ∈ HrmOp ↔ ( 0hop : ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ( 0hop𝑦)) = (( 0hop𝑥) ·ih 𝑦)))
131, 11, 12mpbir2an 990 1 0hop ∈ HrmOp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1629   ∈ wcel 2143  ∀wral 3059  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6791  0cc0 10136   ℋchil 28117   ·ih csp 28120  0ℎc0v 28122   0hop ch0o 28141  HrmOpcho 28148 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cc 9457  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216  ax-hilex 28197  ax-hfvadd 28198  ax-hvcom 28199  ax-hvass 28200  ax-hv0cl 28201  ax-hvaddid 28202  ax-hfvmul 28203  ax-hvmulid 28204  ax-hvmulass 28205  ax-hvdistr1 28206  ax-hvdistr2 28207  ax-hvmul0 28208  ax-hfi 28277  ax-his1 28280  ax-his2 28281  ax-his3 28282  ax-his4 28283  ax-hcompl 28400 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-fal 1635  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-iin 4654  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-se 5208  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-omul 7716  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-acn 8966  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13325  df-cj 14050  df-re 14051  df-im 14052  df-sqrt 14186  df-abs 14187  df-clim 14430  df-rlim 14431  df-sum 14628  df-struct 16072  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-sets 16077  df-ress 16078  df-plusg 16168  df-mulr 16169  df-starv 16170  df-sca 16171  df-vsca 16172  df-ip 16173  df-tset 16174  df-ple 16175  df-ds 16178  df-unif 16179  df-hom 16180  df-cco 16181  df-rest 16297  df-topn 16298  df-0g 16316  df-gsum 16317  df-topgen 16318  df-pt 16319  df-prds 16322  df-xrs 16376  df-qtop 16381  df-imas 16382  df-xps 16384  df-mre 16460  df-mrc 16461  df-acs 16463  df-mgm 17456  df-sgrp 17498  df-mnd 17509  df-submnd 17550  df-mulg 17755  df-cntz 17963  df-cmn 18408  df-psmet 19959  df-xmet 19960  df-met 19961  df-bl 19962  df-mopn 19963  df-fbas 19964  df-fg 19965  df-cnfld 19968  df-top 20925  df-topon 20942  df-topsp 20964  df-bases 20977  df-cld 21050  df-ntr 21051  df-cls 21052  df-nei 21129  df-cn 21258  df-cnp 21259  df-lm 21260  df-haus 21346  df-tx 21592  df-hmeo 21785  df-fil 21876  df-fm 21968  df-flim 21969  df-flf 21970  df-xms 22351  df-ms 22352  df-tms 22353  df-cfil 23278  df-cau 23279  df-cmet 23280  df-grpo 27688  df-gid 27689  df-ginv 27690  df-gdiv 27691  df-ablo 27740  df-vc 27755  df-nv 27788  df-va 27791  df-ba 27792  df-sm 27793  df-0v 27794  df-vs 27795  df-nmcv 27796  df-ims 27797  df-dip 27897  df-ssp 27918  df-ph 28009  df-cbn 28060  df-hnorm 28166  df-hba 28167  df-hvsub 28169  df-hlim 28170  df-hcau 28171  df-sh 28405  df-ch 28419  df-oc 28450  df-ch0 28451  df-shs 28508  df-pjh 28595  df-h0op 28948  df-hmop 29044 This theorem is referenced by:  0lnop  29184  leop3  29325  leoppos  29326  leoprf2  29327  0leop  29330  idleop  29331  opsqrlem2  29341  opsqrlem4  29343  opsqrlem5  29344
 Copyright terms: Public domain W3C validator