Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0hf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0hf 32615
Description: The empty set is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
0hf ∅ ∈ Hf

Proof of Theorem 0hf
StepHypRef Expression
1 peano1 7231 . . . 4 ∅ ∈ ω
2 peano2 7232 . . . 4 (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
31, 2ax-mp 5 . . 3 suc ∅ ∈ ω
4 0elpw 4962 . . . 4 ∅ ∈ 𝒫 (𝑅1‘∅)
5 0elon 5921 . . . . 5 ∅ ∈ On
6 r1suc 8796 . . . . 5 (∅ ∈ On → (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅)
84, 7eleqtrri 2848 . . 3 ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)
9 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑥 = suc ∅ → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc ∅))
109eleq2d 2835 . . . 4 (𝑥 = suc ∅ → (∅ ∈ (𝑅1𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)))
1110rspcev 3458 . . 3 ((suc ∅ ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1𝑥))
123, 8, 11mp2an 664 . 2 𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1𝑥)
13 elhf 32612 . 2 (∅ ∈ Hf ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1𝑥))
1412, 13mpbir 221 1 ∅ ∈ Hf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1630  wcel 2144  wrex 3061  c0 4061  𝒫 cpw 4295  Oncon0 5866  suc csuc 5868  cfv 6031  ωcom 7211  𝑅1cr1 8788   Hf chf 32610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-r1 8790  df-hf 32611
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator