MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0grrusgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0grrusgr 26710
Description: The null graph represented by an empty set is a k-regular simple graph for every k. (Contributed by AV, 26-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
0grrusgr 𝑘 ∈ ℕ0* ∅RegUSGraph𝑘

Proof of Theorem 0grrusgr
StepHypRef Expression
1 0ex 4924 . 2 ∅ ∈ V
2 vtxval0 26152 . 2 (Vtx‘∅) = ∅
3 iedgval0 26153 . 2 (iEdg‘∅) = ∅
4 0vtxrusgr 26708 . 2 ((∅ ∈ V ∧ (Vtx‘∅) = ∅ ∧ (iEdg‘∅) = ∅) → ∀𝑘 ∈ ℕ0* ∅RegUSGraph𝑘)
51, 2, 3, 4mp3an 1572 1 𝑘 ∈ ℕ0* ∅RegUSGraph𝑘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  c0 4063   class class class wbr 4786  cfv 6031  0*cxnn0 11565  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  RegUSGraphcrusgr 26687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-2 11281  df-slot 16068  df-base 16070  df-edgf 26089  df-vtx 26097  df-iedg 26098  df-uhgr 26174  df-upgr 26198  df-uspgr 26267  df-usgr 26268  df-rgr 26688  df-rusgr 26689
This theorem is referenced by:  0grrgr  26711
  Copyright terms: Public domain W3C validator