MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0frgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0frgp 18392
Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
0frgp.g 𝐺 = (freeGrp‘∅)
0frgp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0frgp 𝐵 ≈ 1𝑜

Proof of Theorem 0frgp
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptresid 5614 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵𝑥) = ( I ↾ 𝐵)
2 0ex 4942 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ V
3 0frgp.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (freeGrp‘∅)
43frgpgrp 18375 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
52, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ Grp
6 f0 6247 . . . . . . . . . . 11 ∅:∅⟶𝐵
7 0frgp.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ~FG ‘∅) = ( ~FG ‘∅)
9 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (varFGrp‘∅) = (varFGrp‘∅)
108, 9, 3, 7vrgpf 18381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∅ ∈ V → (varFGrp‘∅):∅⟶𝐵)
11 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((varFGrp‘∅):∅⟶𝐵 → (varFGrp‘∅) Fn ∅)
122, 10, 11mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 (varFGrp‘∅) Fn ∅
13 fn0 6172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((varFGrp‘∅) Fn ∅ ↔ (varFGrp‘∅) = ∅)
1412, 13mpbi 220 . . . . . . . . . . . . 13 (varFGrp‘∅) = ∅
1514eqcomi 2769 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = (varFGrp‘∅)
163, 7, 15frgpup3 18391 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶𝐵) → ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
175, 2, 6, 16mp3an 1573 . . . . . . . . . 10 ∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
18 reurmo 3300 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ → ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅
207idghm 17876 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
215, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
22 tru 1636 . . . . . . . . . 10
2321, 22pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
24 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
2524, 70ghm 17875 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
265, 5, 25mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)
2726, 22pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 ((𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)
28 co02 5810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∘ ∅) = ∅
2928bitru 1645 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤)
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
3129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐵 × {(0g𝐺)}) → ((𝑓 ∘ ∅) = ∅ ↔ ⊤))
3230, 31rmoi 3671 . . . . . . . . 9 ((∃*𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺)(𝑓 ∘ ∅) = ∅ ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤) ∧ ((𝐵 × {(0g𝐺)}) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ ⊤)) → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g𝐺)}))
3319, 23, 27, 32mp3an 1573 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {(0g𝐺)})
34 fconstmpt 5320 . . . . . . . 8 (𝐵 × {(0g𝐺)}) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺))
351, 33, 343eqtri 2786 . . . . . . 7 (𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺))
36 mpteqb 6461 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵 𝑥𝐵 → ((𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺)))
37 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵𝑥𝐵)
3836, 37mprg 3064 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑥) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺))
3935, 38mpbi 220 . . . . . 6 𝑥𝐵 𝑥 = (0g𝐺)
4039rspec 3069 . . . . 5 (𝑥𝐵𝑥 = (0g𝐺))
41 velsn 4337 . . . . 5 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
4240, 41sylibr 224 . . . 4 (𝑥𝐵𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
4342ssriv 3748 . . 3 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}
447, 24grpidcl 17651 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
455, 44ax-mp 5 . . . 4 (0g𝐺) ∈ 𝐵
46 snssi 4484 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝐵 → {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵)
4745, 46ax-mp 5 . . 3 {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵
4843, 47eqssi 3760 . 2 𝐵 = {(0g𝐺)}
49 fvex 6362 . . 3 (0g𝐺) ∈ V
5049ensn1 8185 . 2 {(0g𝐺)} ≈ 1𝑜
5148, 50eqbrtri 4825 1 𝐵 ≈ 1𝑜
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wtru 1633  wcel 2139  wral 3050  ∃!wreu 3052  ∃*wrmo 3053  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881   I cid 5173   × cxp 5264  cres 5268  ccom 5270   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  1𝑜c1o 7722  cen 8118  Basecbs 16059  0gc0g 16302  Grpcgrp 17623   GrpHom cghm 17858   ~FG cefg 18319  freeGrpcfrgp 18320  varFGrpcvrgp 18321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-word 13485  df-lsw 13486  df-concat 13487  df-s1 13488  df-substr 13489  df-splice 13490  df-reverse 13491  df-s2 13793  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-imas 16370  df-qus 16371  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-frmd 17587  df-vrmd 17588  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-ghm 17859  df-efg 18322  df-frgp 18323  df-vrgp 18324
This theorem is referenced by:  frgpcyg  20124
  Copyright terms: Public domain W3C validator