MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0fin 8353
Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
0fin ∅ ∈ Fin

Proof of Theorem 0fin
StepHypRef Expression
1 peano1 7250 . 2 ∅ ∈ ω
2 ssid 3765 . 2 ∅ ⊆ ∅
3 ssnnfi 8344 . 2 ((∅ ∈ ω ∧ ∅ ⊆ ∅) → ∅ ∈ Fin)
41, 2, 3mp2an 710 1 ∅ ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139  wss 3715  c0 4058  ωcom 7230  Fincfn 8121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-om 7231  df-en 8122  df-fin 8125
This theorem is referenced by:  nfielex  8354  xpfi  8396  fnfi  8403  iunfi  8419  fczfsuppd  8458  fsuppun  8459  0fsupp  8462  r1fin  8809  acndom  9064  numwdom  9072  ackbij1lem18  9251  sdom2en01  9316  fin23lem26  9339  isfin1-3  9400  gchxpidm  9683  fzfi  12965  fzofi  12967  hasheq0  13346  hashxp  13413  lcmf0  15549  0hashbc  15913  acsfn0  16522  isdrs2  17140  fpwipodrs  17365  symgfisg  18088  mplsubg  19639  mpllss  19640  psrbag0  19696  dsmm0cl  20286  mat0dimbas0  20474  mat0dim0  20475  mat0dimid  20476  mat0dimscm  20477  mat0dimcrng  20478  mat0scmat  20546  mavmul0  20560  mavmul0g  20561  mdet0pr  20600  m1detdiag  20605  d0mat2pmat  20745  chpmat0d  20841  fctop  21010  cmpfi  21413  bwth  21415  comppfsc  21537  ptbasid  21580  cfinfil  21898  ufinffr  21934  fin1aufil  21937  alexsubALTlem2  22053  alexsubALTlem4  22055  ptcmplem2  22058  tsmsfbas  22132  xrge0gsumle  22837  xrge0tsms  22838  fta1  24262  uhgr0edgfi  26331  fusgrfisbase  26419  vtxdg0e  26580  wwlksnfi  27024  clwwlknfi  27174  xrge0tsmsd  30094  esumnul  30419  esum0  30420  esumcst  30434  esumsnf  30435  esumpcvgval  30449  sibf0  30705  eulerpartlemt  30742  derang0  31458  topdifinffinlem  33506  matunitlindf  33720  0totbnd  33885  heiborlem6  33928  mzpcompact2lem  37816  rp-isfinite6  38366  0pwfi  39726  fouriercn  40952  rrxtopn0  41016  salexct  41055  sge0rnn0  41088  sge00  41096  sge0sn  41099  ovn0val  41270  ovn02  41288  hoidmv0val  41303  hoidmvle  41320  hoiqssbl  41345  von0val  41391  vonhoire  41392  vonioo  41402  vonicc  41405  vonsn  41411  lcoc0  42721  lco0  42726
  Copyright terms: Public domain W3C validator