Theorem 0elunit 12483

Description: Zero is an element of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10232	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 11302	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 10743	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		1re 10231	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
5	1, 4	elicc2i 12432	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
6	1, 2, 3, 5	mpbir3an 1427	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   ≤ cle 10267  [,]cicc 12371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-icc 12375

This theorem is referenced by:  xrhmeo  22946  htpycom  22976  htpyid  22977  htpyco1  22978  htpyco2  22979  htpycc  22980  phtpy01  22985  phtpycom  22988  phtpyid  22989  phtpyco2  22990  phtpycc  22991  reparphti  22997  pcocn  23017  pcohtpylem  23019  pcoptcl  23021  pcopt  23022  pcopt2  23023  pcoass  23024  pcorevcl  23025  pcorevlem  23026  pi1xfrf  23053  pi1xfr  23055  pi1xfrcnvlem  23056  pi1xfrcnv  23057  pi1cof  23059  pi1coghm  23061  dvlipcn  23956  lgamgulmlem2  24955  ttgcontlem1  25964  brbtwn2  25984  axsegconlem1  25996  axpaschlem  26019  axcontlem7  26049  axcontlem8  26050  xrge0iifcnv  30288  xrge0iifiso  30290  xrge0iifhom  30292  cnpconn  31519  pconnconn  31520  txpconn  31521  ptpconn  31522  indispconn  31523  connpconn  31524  sconnpi1  31528  txsconnlem  31529  txsconn  31530  cvxpconn  31531  cvxsconn  31532  cvmliftlem14  31586  cvmlift2lem2  31593  cvmlift2lem3  31594  cvmlift2lem8  31599  cvmlift2lem12  31603  cvmlift2lem13  31604  cvmliftphtlem  31606  cvmliftpht  31607  cvmlift3lem1  31608  cvmlift3lem2  31609  cvmlift3lem4  31611  cvmlift3lem5  31612  cvmlift3lem6  31613  cvmlift3lem9  31616