MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ellim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ellim 5756
Description: A limit ordinal contains the empty set. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
0ellim (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 0ellim
StepHypRef Expression
1 nlim0 5752 . . . 4 ¬ Lim ∅
2 limeq 5704 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
31, 2mtbiri 317 . . 3 (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
43necon2ai 2819 . 2 (Lim 𝐴𝐴 ≠ ∅)
5 limord 5753 . . 3 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
6 ord0eln0 5748 . . 3 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
75, 6syl 17 . 2 (Lim 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
84, 7mpbird 247 1 (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  c0 3897  Ord word 5691  Lim wlim 5693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-ord 5695  df-lim 5697
This theorem is referenced by:  limuni3  7014  peano1  7047  oe1m  7585  oalimcl  7600  oaass  7601  oarec  7602  omlimcl  7618  odi  7619  oen0  7626  oewordri  7632  oelim2  7635  oeoalem  7636  oeoelem  7638  limensuci  8096  rankxplim2  8703  rankxplim3  8704  r1limwun  9518
  Copyright terms: Public domain W3C validator