MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0e0iccpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0e0iccpnf 12468
Description: 0 is a member of (0[,]+∞). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0e0iccpnf 0 ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem 0e0iccpnf
StepHypRef Expression
1 0xr 10270 . 2 0 ∈ ℝ*
2 0le0 11294 . 2 0 ≤ 0
3 elxrge0 12466 . 2 (0 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 0))
41, 2, 3mpbir2an 993 1 0 ∈ (0[,]+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2131   class class class wbr 4796  (class class class)co 6805  0cc0 10120  +∞cpnf 10255  *cxr 10257  cle 10259  [,]cicc 12363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-icc 12367
This theorem is referenced by:  xrge0subm  19981  itg2const2  23699  itg2splitlem  23706  itg2split  23707  itg2gt0  23718  itg2cnlem2  23720  itg2cn  23721  iblss  23762  itgle  23767  itgeqa  23771  ibladdlem  23777  iblabs  23786  iblabsr  23787  iblmulc2  23788  bddmulibl  23796  xrge0infss  29826  xrge00  29987  unitssxrge0  30247  xrge0mulc1cn  30288  esum0  30412  esumpad  30418  esumpad2  30419  esumrnmpt2  30431  esumpinfval  30436  esummulc1  30444  ddemeas  30600  oms0  30660  itg2gt0cn  33770  ibladdnclem  33771  iblabsnc  33779  iblmulc2nc  33780  bddiblnc  33785  ftc1anclem7  33796  ftc1anclem8  33797  ftc1anc  33798  iblsplit  40677  gsumge0cl  41083  sge0cl  41093  sge0ss  41124  0ome  41241  ovnf  41275
  Copyright terms: Public domain W3C validator