MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dgrb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dgrb 24222
Description: A function has degree zero iff it is a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
0dgrb (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))

Proof of Theorem 0dgrb
Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . . . . . 8 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
2 eqid 2771 . . . . . . . 8 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
31, 2coeid 24214 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
43adantr 466 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
5 simplr 752 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (deg‘𝐹) = 0)
65oveq2d 6812 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...(deg‘𝐹)) = (0...0))
76sumeq1d 14639 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
8 0z 11595 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
9 exp0 13071 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑0) = 1)
109adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑0) = 1)
1110oveq2d 6812 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · 1))
121coef3 24208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
13 0nn0 11514 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℕ0
14 ffvelrn 6502 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ ℂ)
1512, 13, 14sylancl 574 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ ℂ)
1615ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ ℂ)
1716mulid1d 10263 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · 1) = ((coeff‘𝐹)‘0))
1811, 17eqtrd 2805 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) = ((coeff‘𝐹)‘0))
1918, 16eqeltrd 2850 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) ∈ ℂ)
20 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) = ((coeff‘𝐹)‘0))
21 oveq2 6804 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (𝑧𝑘) = (𝑧↑0))
2220, 21oveq12d 6814 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)))
2322fsum1 14684 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)))
248, 19, 23sylancr 575 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((coeff‘𝐹)‘0) · (𝑧↑0)))
2524, 18eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((coeff‘𝐹)‘0))
267, 25eqtrd 2805 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((coeff‘𝐹)‘0))
2726mpteq2dva 4879 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘0)))
284, 27eqtrd 2805 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘0)))
29 fconstmpt 5302 . . . . 5 (ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘0))
3028, 29syl6eqr 2823 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)}))
3130fveq1d 6335 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (𝐹‘0) = ((ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)})‘0))
32 0cn 10238 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
33 fvex 6344 . . . . . . . . 9 ((coeff‘𝐹)‘0) ∈ V
3433fvconst2 6616 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → ((ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)})‘0) = ((coeff‘𝐹)‘0))
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ((ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)})‘0) = ((coeff‘𝐹)‘0)
3631, 35syl6eq 2821 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (𝐹‘0) = ((coeff‘𝐹)‘0))
3736sneqd 4329 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → {(𝐹‘0)} = {((coeff‘𝐹)‘0)})
3837xpeq2d 5279 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘0)}) = (ℂ × {((coeff‘𝐹)‘0)}))
3930, 38eqtr4d 2808 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}))
4039ex 397 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
41 plyf 24174 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
42 ffvelrn 6502 . . . . 5 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
4341, 32, 42sylancl 574 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
44 0dgr 24221 . . . 4 ((𝐹‘0) ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘0)})) = 0)
4543, 44syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘0)})) = 0)
46 fveq2 6333 . . . 4 (𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}) → (deg‘𝐹) = (deg‘(ℂ × {(𝐹‘0)})))
4746eqeq1d 2773 . . 3 (𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ (deg‘(ℂ × {(𝐹‘0)})) = 0))
4845, 47syl5ibrcom 237 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}) → (deg‘𝐹) = 0))
4940, 48impbid 202 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {csn 4317  cmpt 4864   × cxp 5248  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   · cmul 10147  0cn0 11499  cz 11584  ...cfz 12533  cexp 13067  Σcsu 14624  Polycply 24160  coeffccoe 24162  degcdgr 24163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-0p 23657  df-ply 24164  df-coe 24166  df-dgr 24167
This theorem is referenced by:  dgrnznn  24223  dgreq0  24241  dgrcolem2  24250  dgrco  24251  plyrem  24280  fta1  24283  aaliou2  24315
  Copyright terms: Public domain W3C validator