Theorem 0cnop 29169

Description: The identically zero function is a continuous Hilbert space operator. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0cnop	⊢ 0hop ∈ ContOp

Proof of Theorem 0cnop

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ho0f 28941	. 2 ⊢ 0hop : ℋ⟶ ℋ
2		1rp 12050	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
3		ho0val 28940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑤) = 0ℎ)
4		ho0val 28940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑥) = 0ℎ)
5	3, 4	oveqan12rd 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥)) = (0ℎ −ℎ 0ℎ))
6	5	adantlr 753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥)) = (0ℎ −ℎ 0ℎ))
7		ax-hv0cl 28191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
8		hvsubid 28214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (0ℎ −ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0ℎ −ℎ 0ℎ) = 0ℎ
10	6, 9	syl6eq 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥)) = 0ℎ)
11	10	fveq2d 6358	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (normℎ‘(( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥))) = (normℎ‘0ℎ))
12		norm0 28316	. . . . . . . 8 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
13	11, 12	syl6eq 2811	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (normℎ‘(( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥))) = 0)
14		rpgt0 12058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
15	14	ad2antlr 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 0 < 𝑦)
16	13, 15	eqbrtrd 4827	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (normℎ‘(( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥))) < 𝑦)
17	16	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (normℎ‘(( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥))) < 𝑦))
18	17	ralrimiva 3105	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (normℎ‘(( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥))) < 𝑦))
19		breq2 4809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1))
20	19	imbi1d 330	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 1 → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘(( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (normℎ‘(( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥))) < 𝑦)))
21	20	ralbidv 3125	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 1 → (∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘(( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (normℎ‘(( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥))) < 𝑦)))
22	21	rspcev 3450	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (normℎ‘(( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘(( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥))) < 𝑦))
23	2, 18, 22	sylancr 698	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘(( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥))) < 𝑦))
24	23	rgen2 3114	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘(( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥))) < 𝑦)
25		elcnop 29047	. 2 ⊢ ( 0hop ∈ ContOp ↔ ( 0hop : ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘(( 0hop ‘𝑤) −ℎ ( 0hop ‘𝑥))) < 𝑦)))
26	1, 24, 25	mpbir2an 993	1 ⊢ 0hop ∈ ContOp

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ∀wral 3051  ∃wrex 3052   class class class wbr 4805  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  0cc0 10149  1c1 10150   < clt 10287  ℝ⁺crp 12046   ℋchil 28107  norm_ℎcno 28111  0_ℎc0v 28112   −_ℎ cmv 28113   0_hop ch0o 28131  ContOpccop 28134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cc 9470  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229  ax-hilex 28187  ax-hfvadd 28188  ax-hvcom 28189  ax-hvass 28190  ax-hv0cl 28191  ax-hvaddid 28192  ax-hfvmul 28193  ax-hvmulid 28194  ax-hvmulass 28195  ax-hvdistr1 28196  ax-hvdistr2 28197  ax-hvmul0 28198  ax-hfi 28267  ax-his1 28270  ax-his2 28271  ax-his3 28272  ax-his4 28273  ax-hcompl 28390

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-omul 7736  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-acn 8979  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12393  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-rlim 14440  df-sum 14637  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-hom 16189  df-cco 16190  df-rest 16306  df-topn 16307  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-topgen 16327  df-pt 16328  df-prds 16331  df-xrs 16385  df-qtop 16390  df-imas 16391  df-xps 16393  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-mulg 17763  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-fbas 19966  df-fg 19967  df-cnfld 19970  df-top 20922  df-topon 20939  df-topsp 20960  df-bases 20973  df-cld 21046  df-ntr 21047  df-cls 21048  df-nei 21125  df-cn 21254  df-cnp 21255  df-lm 21256  df-haus 21342  df-tx 21588  df-hmeo 21781  df-fil 21872  df-fm 21964  df-flim 21965  df-flf 21966  df-xms 22347  df-ms 22348  df-tms 22349  df-cfil 23274  df-cau 23275  df-cmet 23276  df-grpo 27678  df-gid 27679  df-ginv 27680  df-gdiv 27681  df-ablo 27730  df-vc 27745  df-nv 27778  df-va 27781  df-ba 27782  df-sm 27783  df-0v 27784  df-vs 27785  df-nmcv 27786  df-ims 27787  df-dip 27887  df-ssp 27908  df-ph 27999  df-cbn 28050  df-hnorm 28156  df-hba 28157  df-hvsub 28159  df-hlim 28160  df-hcau 28161  df-sh 28395  df-ch 28409  df-oc 28440  df-ch0 28441  df-shs 28498  df-pjh 28585  df-h0op 28938  df-cnop 29030

This theorem is referenced by:  cnlnadjeu  29268