Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0cnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cnf 40593
Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
0cnf ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf
StepHypRef Expression
1 f0 6247 . 2 ∅:∅⟶∅
2 cnv0 5693 . . . . . 6 ∅ = ∅
32imaeq1i 5621 . . . . 5 (∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4 0ima 5640 . . . . 5 (∅ “ 𝑥) = ∅
53, 4eqtri 2782 . . . 4 (∅ “ 𝑥) = ∅
6 0ex 4942 . . . . 5 ∅ ∈ V
76snid 4353 . . . 4 ∅ ∈ {∅}
85, 7eqeltri 2835 . . 3 (∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
98rgenw 3062 . 2 𝑥 ∈ {∅} (∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10 sn0topon 21004 . . 3 {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11 iscn 21241 . . 3 (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
1210, 10, 11mp2an 710 . 2 (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
131, 9, 12mpbir2an 993 1 ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  wcel 2139  wral 3050  c0 4058  {csn 4321  ccnv 5265  cima 5269  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  TopOnctopon 20917   Cn ccn 21230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-map 8025  df-top 20901  df-topon 20918  df-cn 21233
This theorem is referenced by:  cncfiooicc  40610
  Copyright terms: Public domain W3C validator