Theorem 0cnf 40593

Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0cnf	⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6247	. 2 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		cnv0 5693	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
3	2	imaeq1i 5621	. . . . 5 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4		0ima 5640	. . . . 5 ⊢ (∅ “ 𝑥) = ∅
5	3, 4	eqtri 2782	. . . 4 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = ∅
6		0ex 4942	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snid 4353	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
8	5, 7	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
9	8	rgenw 3062	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10		sn0topon 21004	. . 3 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11		iscn 21241	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
12	10, 10, 11	mp2an 710	. 2 ⊢ (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
13	1, 9, 12	mpbir2an 993	1 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∅c0 4058  {csn 4321  ^◡ccnv 5265   “ cima 5269  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  TopOnctopon 20917   Cn ccn 21230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-map 8025  df-top 20901  df-topon 20918  df-cn 21233

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  40610