MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cld 21015
Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
0cld (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem 0cld
StepHypRef Expression
1 dif0 4081 . . 3 ( 𝐽 ∖ ∅) = 𝐽
21topopn 20884 . 2 (𝐽 ∈ Top → ( 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽)
3 0ss 4103 . . 3 ∅ ⊆ 𝐽
4 eqid 2748 . . . 4 𝐽 = 𝐽
54iscld2 21005 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ( 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
63, 5mpan2 709 . 2 (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ( 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
72, 6mpbird 247 1 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 2127  cdif 3700  wss 3703  c0 4046   cuni 4576  cfv 6037  Topctop 20871  Clsdccld 20993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fv 6045  df-top 20872  df-cld 20996
This theorem is referenced by:  cls0  21057  indiscld  21068  iscldtop  21072  iccordt  21191  isconn2  21390  tgptsmscld  22126  mblfinlem2  33729  mblfinlem3  33730  ismblfin  33732
  Copyright terms: Public domain W3C validator