MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01eq0ring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 01eq0ring 19320
Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
0ring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0 0 = (0g𝑅)
0ring01eq.1 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
01eq0ring ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ring
StepHypRef Expression
1 0ring.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 fvex 6239 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
31, 2eqeltri 2726 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
4 hashv01gt1 13173 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵))
6 hasheq0 13192 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
73, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((#‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅)
8 ne0i 3954 . . . . . . . . 9 ( 0𝐵𝐵 ≠ ∅)
9 eqneqall 2834 . . . . . . . . 9 (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≠ ∅ → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
108, 9syl5com 31 . . . . . . . 8 ( 0𝐵 → (𝐵 = ∅ → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
117, 10syl5bi 232 . . . . . . 7 ( 0𝐵 → ((#‘𝐵) = 0 → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
12 0ring.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
131, 12ring0cl 18615 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
1411, 13syl11 33 . . . . . 6 ((#‘𝐵) = 0 → (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
15 eqneqall 2834 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) = 1 → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 ))
1615a1d 25 . . . . . 6 ((#‘𝐵) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
17 0ring01eq.1 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r𝑅)
181, 17, 12ring1ne0 18637 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → 10 )
1918necomd 2878 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → 01 )
2019ex 449 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1 < (#‘𝐵) → 01 ))
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) ≠ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (1 < (#‘𝐵) → 01 )))
2221com13 88 . . . . . 6 (1 < (#‘𝐵) → (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
2314, 16, 223jaoi 1431 . . . . 5 (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
245, 23ax-mp 5 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 ))
2524necon4d 2847 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (#‘𝐵) = 1))
2625imp 444 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (#‘𝐵) = 1)
271, 120ring 19318 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
2826, 27syldan 486 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3o 1053   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  #chash 13157  Basecbs 15904  0gc0g 16147  1rcur 18547  Ringcrg 18593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595
This theorem is referenced by:  0ring01eqbi  19321  ldepspr  42587
  Copyright terms: Public domain W3C validator