Theorem 00ply1bas 19733

Description: Lemma for ply1basfvi 19734 and deg1fvi 23965. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
00ply1bas	⊢ ∅ = (Base‘(Poly1‘∅))

Proof of Theorem 00ply1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4027	. . 3 ⊢ ¬ 𝑎 ∈ ∅
2		noel 4027	. . . 4 ⊢ ¬ (𝑎‘(1𝑜 × {0})) ∈ ∅
3		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘∅) = (Poly1‘∅)
4		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘∅)) = (Base‘(Poly1‘∅))
5		base0 16035	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
6	3, 4, 5	ply1basf 19695	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘(Poly1‘∅)) → 𝑎:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶∅)
7		0nn0 11420	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8	7	fconst6 6208	. . . . . 6 ⊢ (1𝑜 × {0}):1𝑜⟶ℕ0
9		nn0ex 11411	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
10		1on 7687	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ∈ On
11	10	elexi 3317	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ V
12	9, 11	elmap 8003	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↔ (1𝑜 × {0}):1𝑜⟶ℕ0)
13	8, 12	mpbir 221	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)
14		ffvelrn 6472	. . . . 5 ⊢ ((𝑎:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶∅ ∧ (1𝑜 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝑎‘(1𝑜 × {0})) ∈ ∅)
15	6, 13, 14	sylancl 697	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘(Poly1‘∅)) → (𝑎‘(1𝑜 × {0})) ∈ ∅)
16	2, 15	mto 188	. . 3 ⊢ ¬ 𝑎 ∈ (Base‘(Poly1‘∅))
17	1, 16	2false 364	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ∅ ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Poly1‘∅)))
18	17	eqriv 2721	1 ⊢ ∅ = (Base‘(Poly1‘∅))

Syntax hints:   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  ∅c0 4023  {csn 4285   × cxp 5216  Oncon0 5836  ⟶wf 5997  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  1_𝑜c1o 7673   ↑_𝑚 cmap 7974  0cc0 10049  ℕ₀cn0 11405  Basecbs 15980  Poly₁cpl1 19670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-tset 16083  df-ple 16084  df-psr 19479  df-mpl 19481  df-opsr 19483  df-psr1 19673  df-ply1 19675

This theorem is referenced by:  ply1basfvi  19734  deg1fvi  23965