MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  00lss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 00lss 19144
Description: The empty structure has no subspaces (for use with fvco4i 6438). (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
00lss ∅ = (LSubSp‘∅)

Proof of Theorem 00lss
StepHypRef Expression
1 noel 4062 . . 3 ¬ 𝑎 ∈ ∅
2 base0 16114 . . . . . 6 ∅ = (Base‘∅)
3 eqid 2760 . . . . . 6 (LSubSp‘∅) = (LSubSp‘∅)
42, 3lssss 19139 . . . . 5 (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 ⊆ ∅)
5 ss0 4117 . . . . 5 (𝑎 ⊆ ∅ → 𝑎 = ∅)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 = ∅)
73lssn0 19143 . . . . 5 (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 ≠ ∅)
87neneqd 2937 . . . 4 (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → ¬ 𝑎 = ∅)
96, 8pm2.65i 185 . . 3 ¬ 𝑎 ∈ (LSubSp‘∅)
101, 92false 364 . 2 (𝑎 ∈ ∅ ↔ 𝑎 ∈ (LSubSp‘∅))
1110eqriv 2757 1 ∅ = (LSubSp‘∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  c0 4058  cfv 6049  LSubSpclss 19134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-ov 6816  df-slot 16063  df-base 16065  df-lss 19135
This theorem is referenced by:  00lsp  19183  lidlval  19394
  Copyright terms: Public domain W3C validator