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Theorem 00id 10249
Description: 0 is its own additive identity. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
00id (0 + 0) = 0

Proof of Theorem 00id
Dummy variables 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 10078 . 2 0 ∈ ℝ
2 ax-rnegex 10045 . 2 (0 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (0 + 𝑐) = 0)
3 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑐 = 0 → (0 + 𝑐) = (0 + 0))
43eqeq1d 2653 . . . . . 6 (𝑐 = 0 → ((0 + 𝑐) = 0 ↔ (0 + 0) = 0))
54biimpd 219 . . . . 5 (𝑐 = 0 → ((0 + 𝑐) = 0 → (0 + 0) = 0))
65adantld 482 . . . 4 (𝑐 = 0 → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) → (0 + 0) = 0))
7 ax-rrecex 10046 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑦) = 1)
87adantlr 751 . . . . . 6 (((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑦) = 1)
9 simplll 813 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑐 ∈ ℝ)
109recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑐 ∈ ℂ)
11 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1211recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
13 0cn 10070 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
14 mulass 10062 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (𝑐 · (𝑦 · 0)))
1513, 14mp3an3 1453 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (𝑐 · (𝑦 · 0)))
1610, 12, 15syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (𝑐 · (𝑦 · 0)))
17 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 · 𝑦) = 1 → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (1 · 0))
1813mulid2i 10081 . . . . . . . . . . 11 (1 · 0) = 0
1917, 18syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 · 𝑦) = 1 → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = 0)
2019ad2antll 765 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = 0)
2116, 20eqtr3d 2687 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) = 0)
2221oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = (0 + 0))
23 simpllr 815 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 + 𝑐) = 0)
2423oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = (0 · (𝑦 · 0)))
25 remulcl 10059 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 · 0) ∈ ℝ)
261, 25mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · 0) ∈ ℝ)
2726ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 0) ∈ ℝ)
2827recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 0) ∈ ℂ)
29 adddir 10069 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℂ) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
3013, 29mp3an1 1451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℂ) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
3110, 28, 30syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
3224, 31eqtr3d 2687 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
3332oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) = (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0))
34 remulcl 10059 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℝ) → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
351, 26, 34sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
3635ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
3736recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ)
38 remulcl 10059 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℝ) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
399, 27, 38syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
4039recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ)
41 addass 10061 . . . . . . . . . . 11 (((0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0) = ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)))
4213, 41mp3an3 1453 . . . . . . . . . 10 (((0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0) = ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)))
4337, 40, 42syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0) = ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)))
4433, 43eqtr2d 2686 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0))
4526, 38sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
46 readdcl 10057 . . . . . . . . . . 11 (((𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ)
4745, 1, 46sylancl 695 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ)
489, 11, 47syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ)
49 readdcan 10248 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) ↔ ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0))
501, 49mp3an2 1452 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ ∧ (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) ↔ ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0))
5148, 36, 50syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) ↔ ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0))
5244, 51mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0)
5322, 52eqtr3d 2687 . . . . . 6 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 + 0) = 0)
548, 53rexlimddv 3064 . . . . 5 (((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) → (0 + 0) = 0)
5554expcom 450 . . . 4 (𝑐 ≠ 0 → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) → (0 + 0) = 0))
566, 55pm2.61ine 2906 . . 3 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) → (0 + 0) = 0)
5756rexlimiva 3057 . 2 (∃𝑐 ∈ ℝ (0 + 𝑐) = 0 → (0 + 0) = 0)
581, 2, 57mp2b 10 1 (0 + 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117
This theorem is referenced by:  mul02lem1  10250  mul02lem2  10251  addid1  10254  addid2  10257  addgt0  10552  addgegt0  10553  addgtge0  10554  addge0  10555  add20  10578  recextlem2  10696  crne0  11051  decaddm10  11616  10p10e20  11666  10p10e20OLD  11667  ser0  12893  faclbnd4lem3  13122  bcpasc  13148  relexpaddg  13837  fsumadd  14514  fsumrelem  14583  arisum  14636  fsumcube  14835  sadcaddlem  15226  sadcadd  15227  sadadd2  15229  bezout  15307  bezoutr1  15329  nnnn0modprm0  15558  pcaddlem  15639  4sqlem19  15714  139prm  15878  163prm  15879  317prm  15880  631prm  15881  1259lem1  15885  1259lem2  15886  1259lem4  15888  2503lem1  15891  2503lem2  15892  2503lem3  15893  4001lem1  15895  4001lem2  15896  4001lem3  15897  4001lem4  15898  sylow1lem1  18059  psrbagaddcl  19418  mplcoe3  19514  cnfld0  19818  reparphti  22843  itg1addlem4  23511  ibladdlem  23631  itgaddlem1  23634  iblabslem  23639  iblabs  23640  coeaddlem  24050  dcubic  24618  log2ublem3  24720  log2ub  24721  chtublem  24981  logfacrlim  24994  dchrisumlem1  25223  chpdifbndlem2  25288  vtxdg0e  26426  1kp2ke3k  27433  dip0r  27700  pythi  27833  normpythi  28127  ocsh  28270  0lnfn  28972  lnopeq0i  28994  nlelshi  29047  unierri  29091  probun  30609  hgt750lem2  30858  poimirlem3  33542  poimirlem4  33543  ismblfin  33580  itg2addnc  33594  ibladdnclem  33596  itgaddnclem1  33598  itgaddnclem2  33599  iblabsnclem  33603  iblabsnc  33604  iblmulc2nc  33605  ftc1anclem8  33622  ftc1anc  33623  relexpaddss  38327  stoweidlem44  40579  fourierdlem42  40684  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  sqwvfoura  40763  sqwvfourb  40764  fmtno5lem4  41793  139prmALT  41836
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