MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0.999...OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0.999...OLD 14657
Description: Obsolete version of 0.999... 14656 as of 8-Sep-2021. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0.999...OLD Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem 0.999...OLD
StepHypRef Expression
1 10reOLD 11147 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
21recni 10090 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
3 nnnn0 11337 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
4 expcl 12918 . . . . . 6 ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 696 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
62a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ∈ ℂ)
7 10posOLD 11161 . . . . . . . 8 0 < 10
81, 7gt0ne0ii 10602 . . . . . . 7 10 ≠ 0
98a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ≠ 0)
10 nnz 11437 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
116, 9, 10expne0d 13054 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ≠ 0)
12 9cn 11146 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
13 divrec 10739 . . . . . 6 ((9 ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ≠ 0) → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
1412, 13mp3an1 1451 . . . . 5 (((10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ≠ 0) → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
155, 11, 14syl2anc 694 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
166, 9, 10exprecd 13056 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 10)↑𝑘) = (1 / (10↑𝑘)))
1716oveq2d 6706 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
1815, 17eqtr4d 2688 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · ((1 / 10)↑𝑘)))
1918sumeq2i 14473 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘))
201, 8rereccli 10828 . . . . 5 (1 / 10) ∈ ℝ
2120recni 10090 . . . 4 (1 / 10) ∈ ℂ
22 0re 10078 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
231, 7recgt0ii 10967 . . . . . . 7 0 < (1 / 10)
2422, 20, 23ltleii 10198 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 10)
2520absidi 14161 . . . . . 6 (0 ≤ (1 / 10) → (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10))
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5 (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10)
27 1lt10OLD 11276 . . . . . 6 1 < 10
28 recgt1 10957 . . . . . . 7 ((10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10) → (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1))
291, 7, 28mp2an 708 . . . . . 6 (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1)
3027, 29mpbi 220 . . . . 5 (1 / 10) < 1
3126, 30eqbrtri 4706 . . . 4 (abs‘(1 / 10)) < 1
32 geoisum1c 14655 . . . 4 ((9 ∈ ℂ ∧ (1 / 10) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 10)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10))))
3312, 21, 31, 32mp3an 1464 . . 3 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
3412, 2, 8divreci 10808 . . . 4 (9 / 10) = (9 · (1 / 10))
3512, 2, 8divcan2i 10806 . . . . . 6 (10 · (9 / 10)) = 9
36 ax-1cn 10032 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
372, 36, 21subdii 10517 . . . . . . 7 (10 · (1 − (1 / 10))) = ((10 · 1) − (10 · (1 / 10)))
382mulid1i 10080 . . . . . . . 8 (10 · 1) = 10
392, 8recidi 10794 . . . . . . . 8 (10 · (1 / 10)) = 1
4038, 39oveq12i 6702 . . . . . . 7 ((10 · 1) − (10 · (1 / 10))) = (10 − 1)
4136, 12addcomi 10265 . . . . . . . . 9 (1 + 9) = (9 + 1)
42 df-10OLD 11125 . . . . . . . . 9 10 = (9 + 1)
4341, 42eqtr4i 2676 . . . . . . . 8 (1 + 9) = 10
442, 36, 12, 43subaddrii 10408 . . . . . . 7 (10 − 1) = 9
4537, 40, 443eqtrri 2678 . . . . . 6 9 = (10 · (1 − (1 / 10)))
4635, 45eqtri 2673 . . . . 5 (10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10)))
47 9re 11145 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
4847, 1, 8redivcli 10830 . . . . . . 7 (9 / 10) ∈ ℝ
4948recni 10090 . . . . . 6 (9 / 10) ∈ ℂ
5036, 21subcli 10395 . . . . . 6 (1 − (1 / 10)) ∈ ℂ
5149, 50, 2, 8mulcani 10704 . . . . 5 ((10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10))) ↔ (9 / 10) = (1 − (1 / 10)))
5246, 51mpbi 220 . . . 4 (9 / 10) = (1 − (1 / 10))
5334, 52oveq12i 6702 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
54 9pos 11160 . . . . . 6 0 < 9
5547, 1, 54, 7divgt0ii 10979 . . . . 5 0 < (9 / 10)
5648, 55gt0ne0ii 10602 . . . 4 (9 / 10) ≠ 0
5749, 56dividi 10796 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = 1
5833, 53, 573eqtr2i 2679 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = 1
5919, 58eqtri 2673 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  9c9 11115  10c10 11116  0cn0 11330  cexp 12900  abscabs 14018  Σcsu 14460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-10OLD 11125  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator