MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0.999... Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0.999... 14782
Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. 9 / 10↑1 + 9 / 10↑2 + 9 / 10↑3 + ..., is exactly equal to 1, according to ZF set theory. Interestingly, about 40% of the people responding to a poll at http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=13177 disagree. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
0.999... Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 9cn 11271 . . . . 5 9 ∈ ℂ
2 10re 11680 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
32recni 10215 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
4 nnnn0 11462 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
5 expcl 13043 . . . . . 6 ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 698 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
73a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ∈ ℂ)
8 10pos 11678 . . . . . . . 8 0 < 10
92, 8gt0ne0ii 10727 . . . . . . 7 10 ≠ 0
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ≠ 0)
11 nnz 11562 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
127, 10, 11expne0d 13179 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ≠ 0)
13 divrec 10864 . . . . 5 ((9 ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ≠ 0) → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
141, 6, 12, 13mp3an2i 1566 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
157, 10, 11exprecd 13181 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 10)↑𝑘) = (1 / (10↑𝑘)))
1615oveq2d 6817 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
1714, 16eqtr4d 2785 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · ((1 / 10)↑𝑘)))
1817sumeq2i 14599 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘))
192, 9rereccli 10953 . . . . 5 (1 / 10) ∈ ℝ
2019recni 10215 . . . 4 (1 / 10) ∈ ℂ
21 0re 10203 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
222, 8recgt0ii 11092 . . . . . . 7 0 < (1 / 10)
2321, 19, 22ltleii 10323 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 10)
2419absidi 14287 . . . . . 6 (0 ≤ (1 / 10) → (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10))
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5 (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10)
26 1lt10 11844 . . . . . 6 1 < 10
27 recgt1 11082 . . . . . . 7 ((10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10) → (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1))
282, 8, 27mp2an 710 . . . . . 6 (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1)
2926, 28mpbi 220 . . . . 5 (1 / 10) < 1
3025, 29eqbrtri 4813 . . . 4 (abs‘(1 / 10)) < 1
31 geoisum1c 14781 . . . 4 ((9 ∈ ℂ ∧ (1 / 10) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 10)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10))))
321, 20, 30, 31mp3an 1561 . . 3 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
331, 3, 9divreci 10933 . . . 4 (9 / 10) = (9 · (1 / 10))
341, 3, 9divcan2i 10931 . . . . . 6 (10 · (9 / 10)) = 9
35 ax-1cn 10157 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
363, 35, 20subdii 10642 . . . . . . 7 (10 · (1 − (1 / 10))) = ((10 · 1) − (10 · (1 / 10)))
373mulid1i 10205 . . . . . . . 8 (10 · 1) = 10
383, 9recidi 10919 . . . . . . . 8 (10 · (1 / 10)) = 1
3937, 38oveq12i 6813 . . . . . . 7 ((10 · 1) − (10 · (1 / 10))) = (10 − 1)
40 10m1e9 11793 . . . . . . 7 (10 − 1) = 9
4136, 39, 403eqtrri 2775 . . . . . 6 9 = (10 · (1 − (1 / 10)))
4234, 41eqtri 2770 . . . . 5 (10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10)))
43 9re 11270 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
4443, 2, 9redivcli 10955 . . . . . . 7 (9 / 10) ∈ ℝ
4544recni 10215 . . . . . 6 (9 / 10) ∈ ℂ
4635, 20subcli 10520 . . . . . 6 (1 − (1 / 10)) ∈ ℂ
4745, 46, 3, 9mulcani 10829 . . . . 5 ((10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10))) ↔ (9 / 10) = (1 − (1 / 10)))
4842, 47mpbi 220 . . . 4 (9 / 10) = (1 − (1 / 10))
4933, 48oveq12i 6813 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
50 9pos 11285 . . . . . 6 0 < 9
5143, 2, 50, 8divgt0ii 11104 . . . . 5 0 < (9 / 10)
5244, 51gt0ne0ii 10727 . . . 4 (9 / 10) ≠ 0
5345, 52dividi 10921 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = 1
5432, 49, 533eqtr2i 2776 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = 1
5518, 54eqtri 2770 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  cr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   · cmul 10104   < clt 10237  cle 10238  cmin 10429   / cdiv 10847  cn 11183  9c9 11240  0cn0 11455  cdc 11656  cexp 13025  abscabs 14144  Σcsu 14586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-rp 11997  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator